3.5.2 微分的几何意义
为了更直观地理解微分，下面给出微分的几何意义.如图3.7所示，在直角坐标系中，函数y＝f（x）的图形是一条曲线，对于某一固定点x，曲线上有一个确定的点P（x，y）与之对应，当自变量x有微小增量Δx时，就得到曲线上的另一点P′（x+Δx，y+Δy），从而有
PN＝Δx NP′＝Δy
过P（x，y）点作曲线的切线PT，它的倾角为θ，则
NT＝PNtanθ＝Δxf′(x)
即(https://www.daowen.com)
dy＝NT
它表示曲线y-f（x）在P点处的切线增量，而函数的增量为Δy＝NP′，它表示曲线y＝f（x）在P点处的割线增量，当
很小时， 比 小得多为的高阶无穷小，也即当Δx→0时，切线增量dy是割线增量Δy的线性主部，即有dy≈Δy，因此在点P附近，可以用切线段来近似代替曲线段.在定积分的应用里，微元法就是这样的思想：在微小局部范围内用线性函数近似代替非线性函数，或者，在几何上用切线段近似代替曲线段，这在数学上称为非线性函数的局部线性化，是微积分的基本思想方法之一.这种思想方法在自然科学和工程问题的研究中被经常采用.
图3.7 微分的几何意义
很小时，
比
小得多为
的高阶无穷小，也即当Δx→0时，切线增量dy是割线增量Δy的线性主部，即有dy≈Δy，因此在点P附近，可以用切线段来近似代替曲线段.在定积分的应用里，微元法就是这样的思想：在微小局部范围内用线性函数近似代替非线性函数，或者，在几何上用切线段近似代替曲线段，这在数学上称为非线性函数的局部线性化，是微积分的基本思想方法之一.这种思想方法在自然科学和工程问题的研究中被经常采用.
