4.3.1 函数的单调性
单调函数是一类重要的函数，怎样运用导数来判断函数的单调性呢？函数的单调性图示，如图4.5所示.
图4.5 函数单调性图示
如果函数f（x）在[a，b]上单调增加，那么它的图像是一条沿x轴正向上升的曲线，此时曲线的各点处切线斜率是非负的，也就是说有f′（x）≥0；反之，如果函数f（x）在[a，b]上单调减少，那么它的图像是一条沿x轴正向下降的曲线，此时曲线的各点处切线斜率是非正的，也就是说有f′（x）≤0.可见，函数的单调性与导数的符号有一定联系.下面证明怎样利用导数的符号来判断函数的单调性.
定理4.3.1 若函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则
（1）如果在（a，b）内f′（x）＞0，那么函数f（x）在[a，b]上单调增加；
（2）如果在（a，b）内f′（x）＜0，那么函数f（x）在[a，b]上单调减少.
证明 只证明f（x）在[a，b]上单调增加的情况，单调减少的情况可以类似地证明.
在[a，b]上任取两点x1，x2（x1＜x2），这样函数f（x）在[x1，x2]上满足拉格朗日中值定理，因此有f（x2）-f（x1）＝f′（ξ）（x2-x1）（x1＜ξ＜x2）.又由于在（a，b）内f′（x）＞0，知f′（ξ）＞0，故f（x1）＜f（x2），即函数f（x）在[a，b]上单调增加，证完.
定理中的闭区间换成其他区间，包括无穷区间结论也成立.
例4.3.1 讨论函数f（x）＝x3-x的单调性.(https://www.daowen.com)
解 因为
，所以当
时，f′（x）≥0，函数f（x）单调增加；当
时，f′（x）≤0，函数f（x）单调减少.
在例4.3.1中，函数f（x）在其定义域内不单调，但是根据驻点来划分定义区间后，函数f（x）在各个部分区间是单调的，因此，驻点可以作为划分函数单调区间的点.
例4.3.2 讨论函数
的单调性.
解 因为
，所以在x＝0点，函数的导数不存在.当x∈（-∞，0）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调减少；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调增加.
在例4.3.2中，x＝0这个不可导的点是函数单调区间的分界点.通过以上两例，得出下面结论：如果函数在定义区间上连续，除去有限个不可导的点，导数存在且连续，则用f′（x）＝0的点和f′（x）不存在的点来划分函数的单调区间.
例4.3.3 求函数y＝ex-x+1的单调区间.
解 y′＝ex-1，令y′＞0，即ex-1＞0，则x∈（0，+∞）；令y′＜0，即ex-1＜0，则x∈（-∞，0），所以y＝ex-x+1的单调增区间是（0，+∞），单调减区间是（-∞，0）.
有时候也可以利用函数的单调性证明一些不等式.
例4.3.4 证明：当x＞0时，x＞ln（1+x）.
证明 令f（x）＝x-ln（1+x），有
.当x＞0时，有f′（x）＞0，所以函数f（x）在（0，+∞）上单调增加，又f（x）在x＝0点连续，因此，f（x）在[0，+∞）上单调增加，从而当x＞0时，有f（x）＝x-ln（1+x）＞f（0）＝0，得到x-ln（1+x）＞0，即x＞ln（1+x）.
