4.3.2 曲线的凹凸性与拐点
函数的单调性反映了函数图像的上升和下降，下面要讲的曲线的凹凸性就反映了曲线在上升或者下降过程中的弯曲方向.如图4.6所示，两条曲线都是上升的，但是弯曲的方向是不同的.
图4.6 曲线的弯曲方向图示
如果曲线上任意两点间的弧段总在两点间连线的上方，称曲线是凸的，如图4.7（a）所示.如果曲线上任意两点间的弧段总在两点连线的下方，称曲线是凹的，如图4.7（b）所示.
图4.7 曲线的凹凸性图示
定义4.3.1 若函数f（x）在区间I上连续，对于I上任意两点x1，x2：
（1）如果恒有
，那么称f（x）在I上的图形是凸的；
（2）如果恒有
，那么称f（x）在I上的图形是凹的.
一般来讲，直接运用定义来判定曲线的凹凸性是不方便的，如果函数f（x）在I上具有二阶导数，就可以利用二阶导数的符号来判定曲线的凹凸性，下面以I为闭区间为例来讨论曲线凹凸性的判定方法.
定理4.3.2 若函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内具有一、二阶导数，则
（1）如果在（a，b）内有f″（x）＜0，那么f（x）在[a，b]上的图形是凸的；
（2）如果在（a，b）内有f″（x）＞0，那么f（x）在[a，b]上的图形是凹的.
证明 只证明（1），结论（2）类似地证明.
∀x1，x2∈[a，b]，且x1＜x2，令
，则有x2-x0＝x0-x1＝h （h＞0）
由拉格朗日中值公式，有
f(x0+h)-f(x0)＝f′(x0+θ1h)h (0＜θ1＜1)
f(x0)-f(x0-h)＝f′(x0-θ2h)h (0＜θ2＜1)
两式相减得：
f(x0+h)+f(x0-h)-2f(x0)＝[f′(x0+θ1h)-f′(x0-θ2h)]h,
对f′（x）在闭区间[x0-θ2h，x0+θ1h]上再一次使用拉格朗日中值定理有：
f′(x0+θ1h)-f′(x0-θ2h)＝f″(ξ)(θ1+θ2)h
其中x0-θ2h＜ξ＜x0+θ1h.
由于f″（x）＜0，有f″（ξ）＜0，从而f（x0+h）-2f（x0）+f（x0-h）＜0，即
，也就是
.
所以，函数f（x）在[a，b]上的图形是凸的，证完.
注：函数在任意区间上凹凸性的判定方法与之类似.(https://www.daowen.com)
例4.3.5 判断函数f（x）＝x4-2x2的凹凸性.
解 由于f′（x）＝4x3-4x，f″（x）＝12x2-4＝4（3x2-1），
所以当
时，f″（x）＞0；当
时，f″（x）＜0，由定理4.3.2知：
f（x）在
上是凹的，在
上是凸的.
例4.3.6 讨论函数f（x）＝arctanx的凹凸性.
解 由于
，所以当x≤0时，f″（x）≥0；当x≥0时，f″（x）≤0.因此，f（x）在（-∞，0]上是凹的；在[0，+∞）上是凸的.
定义4.3.2 连续曲线y＝f（x）凹弧与凸弧的分界点称为这条曲线的拐点.
那么怎样来确定曲线的拐点呢？
由定理4.3.2可知，可以利用函数f（x）的二阶导数符号来判定连续曲线y＝f（x）的凹凸性.如果f″（x）在定义区间I上某点x0的左右两侧邻近符号相反，那么曲线上该点就是曲线的一个拐点；如果f（x）在区间（a，b）内具有二阶连续导数，那么在该点处有f″（x）＝0.此外，函数f（x）的二阶导数不存在的点，也可能是f″（x）符号改变的点，即曲线的拐点.
综上，确定区间I上连续曲线y＝f（x）的拐点可以按照下列步骤进行.
（1）求f″（x）；
（2）求出在区间I内f″（x）＝0的点和f″（x）不存在的点；
（3）根据f″（x）在上述点左右两侧邻近的符号进行判断或列表判断，确定曲线的凹凸区间和拐点.
例4.3.7 求曲线y＝ln（x2+1）的凹凸区间及拐点.
解 函数y＝ln（x2+1）的定义域为（-∞，+∞）
，令y″＝0，得x＝±1.当x∈（-∞，-1）时，y″＜0，曲线是凸的；当x∈（-1，1）时，y″＞0，曲线是凹的；当x∈（1，+∞）时，y″＜0，曲线是凸的，拐点为（-1，ln2），（1，ln2）.
例4.3.8 讨论函数
的凹凸区间和拐点.
解 
（x≠0），当x≠0时
，当x＝0时，导数不存在，二阶导数也不存在.当
时，f″（x）＝0.于是，x＝0和
将函数的定义域（-∞，+∞）划分成
三个部分区间.每个部分区间上二阶导数的符号与函数的凹凸性如表4.1所示.
当
时，f″（x）＜0，曲线是凸的；当
时，f″（x）＞0，曲线是凹的；当x∈（0，+∞）时，曲线是凹的；拐点为.
注：此题中二阶导数不存在的点不是曲线的拐点.
函数的凹凸性也可以用来证明一些不等式.
例4.3.9 证明不等式
.
证明 令f（x）＝tanx，那么f′（x）＝sec2x，f″（x）＝2sec2xtanx＞0
，所以，f（x）＝tanx在
内是凹函数，则有
由此得
函数的单调性和凹凸性在数学理论和生产实践中有着重要的应用.读者注意，有些学科和课本中所提到的凸函数，一般指的是我们所定义的凹函数.
