附录一 部分习题答案与提示
第1章 函数
习题1.1
1.B 2.D 3.B
4.a＝-1. 5.(1)(-8,2);(2)[-3,-1]∪[1,3].
6.(1)U(0,5);(2)
;(3)U(1,4).
习题1.2
1.B 2.B 3.C 4.A
5.
.
6.(1)(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞);(2)(1,2];(3)[0,+∞);
(4)(-1,+∞);(5)(-∞,0)∪(0,+∞);(6)[2,4].
7.（1）不同，定义域不同；（2）不同，定义域、函数关系不同；
（3）不同，定义域、函数关系不同；（4）不同，定义域、函数关系不同.
8.（1）偶函数 （2）非奇非偶函数 （3）奇函数 （4）奇函数
9.提示：令g（x）＝f（x）+f（-x），h（x）＝f（x）-f（-x），则g（-x）＝f（-x）+f（x）＝g（x），h（-x）＝f（-x）-f（x）＝-h（x），所以f（x）+f（-x）是偶函数，f（x）-f（-x）是奇函数.
10.（1）周期函数，周期为π.（2）周期函数，周期为2.
（3）不是周期函数.（4）周期函数，周期为π.
习题1.3
1.(1)x∈(-∞,0];(2)x∈[1,e].
2.(1)
;(2)y＝ex-2(x∈R);
(3)
;(4)
.
3.（1）
是由
复合而成.
（2）y＝sin2（1+2x）是由y＝u2，u＝sinv，v＝1+2x复合而成.
（3）
是由
，u＝1+v，v＝10w，w＝-x5复合而成.
（4）
是由y＝u-1，u＝1+v，v＝arcsinw，w＝2x复合而成.
4.f(g(x))＝2g(x)＝2xlnx,g(f(x))＝f(x)lnf(x)＝2x·ln2x＝(xln2)·2x,
f(f(x))＝2f(x)＝22x,g(g(x))＝g(x)lng(x)＝xlnxln(xlnx).
5.分成x≤0和x＞0两段求.f[f（x）]＝f（x），g[g（x）]＝0，f[g（x）]＝0，g[f（x）]＝g（x）.
习题1.4
1. C 2.B 3.B 4.[-1,1] 5.
6.f (x)＝x2-2.
7.提示
.
习题1.5
1.B 2.C 3.D 4.C
5.
.
6.
.
8.交点是
.
习题1
1.{1,2,3,4,5,6,7,8},{8},{2 ,4,6}.
2.[-1,2).
3.（1）不同；（2）相同；（3）不同；（4）相同.
4.(1)[-1,0)∪(0,1];(2)(-∞,2)∪(2,3)∪(3,+∞);(3)[1,3];
(4)x≠kπ,x≠kπ+
,k＝0,±1,±2,…;(5)(-1,1);(6)(-∞,2)∪(2,+∞).
5.
.
6.（1）是奇函数；（2）因为f（-x）＝0＝f（x），所以y＝0是偶函数；（3）奇函数；（4）偶函数；（5）非奇函数又非偶函数；（6）奇函数.
7.（1）T＝
；（2）T＝π；（3）非周期函数；（4）T＝π.
8.(1)
(x≠1);(2)
(x∈R);(3)
;(4)y＝ex-1-5,x∈R
9.(1)y＝u2,u＝cosx;(2)y＝u3,u＝2x-1;(3)y＝u2,u＝arctanv,v＝2x;(4)y＝
.
10.(1)x＝1+2cost,y＝2sint,t∈[0,2π];(2)x＝t,y＝2t2,t∈(-∞,+∞).
11.(1)
;
(3)
.
12.提示：令
，得
＝t.
自测题1
1.(1)B (2)D (3)D (4)B (5)C (6)D (7)A (8)C (9)D (10)A
2.(1)[-1,1];(2)f (x)＝x2-4x+5;(3)
,x;
(4)[-1,3],2,0;(5)2;(6)y＝lnx-1.
3.（1）偶函数；（2）奇函数；（3）偶函数；（4）非奇函数又非偶函数.
4.(1)
;(2)y＝
5.(1)
;(2)
6.提示：（1）设漏斗高为h，底半径为r，依题意得漏斗容积
，可得
（2）函数的定义域（0＜φ＜2π）
7.提示：（1）
；
（2）令
因为
，所以g （x）为偶函数
（3）令
，
因为
所以φx（）为奇函数.
（4）综上所述：f（x）＝g（x）偶函数+φ（x）奇函数
第2章 极限与连续
习题2.1
1.（1）
，当n→∞时，xn→1.
（2）xn＝ncos
，当n无限增大时，有三种变化趋势：趋向于+∞，趋向于0，趋向于-∞.
（3）xn＝（-1）n
，当n无限增大时，变化趁势有两种，分别趋于1，-1.
（4）
， 当n→∞时，xn→0.
2.（1）提示
，当ε＝0.001时，N＝1000或大于1000的整数.
（2）提示
，当ε＝0.0001时，N＝108或大于108的整数.
3.（1）提示：要使
.
（2）提示：要使
.
（3）提示：要使
.
（4）提示：令
，因为
，所以
.
4.提示：因为
，由极限的定义知，∀ε＞0，∃N＞0，当n＞N时，恒有
.
而
，所 以∀ε＞0，∃N＞0，当n＞N时，恒 有
，由极限的定义知
.但这个结论的逆不成立.如xn＝
，但
不存在.
5.提示：依题意，存在M＞0，对一切n都有
，又
，对∀ε＞0，存在N，当n＞N时，|yn-0|＜ε，因为对上述N，当n＞N时，|xnyn-0|＝|xnyn|≤M|yn|＜Mε，由ε的任意性，则
.
习题2.2
1.C
2.提示：令
，则
，要使|y-4|＝|x-1||x+1|＜
|x-1|＜0.01，只要|x-1|＜0.004.
3.提示：要使
， 只要|x2-3|＞7000，即x2-3＞7000.
4.（1）提示：要使|（2x-1）-5|＜ε，只要|x-3|＜
.因此取
.
（2）提示：要使
，只要取δ＝ε.
（3）提示：要使
，只要取δ＝ε2.
（4）提示：要使
，只须
，取
.
（5）提示：要使
，只要
，所以
，取
.
（6）提示：由于
， 任给ε＞0，要使
，只要
.
（7）提示：要使
，只须
，取
.
（8）提示：要使
，即
，取
.
5.（1）∀ε＞0，∃M＞0，当x＜-M时， 总有|f（x）-1|＜ε；
（2）∀ε＞0，∃M＞0，当|x|＞M， 总有|f（x）-a|＜ε；
（3）∀ε＞0，∃δ＞0，当a＜x＜a+δ时，总有|f（x）-b|＜ε；
（4）∀ε＞0，∃δ＞0当3-δ＜x＜3时， 总有|f（x）+8|＜ε.
习题2.3
1.（1）错，例如x→0时，f（x）＝2x是无穷小，g（x）＝x也是无穷小，但
不是无穷小；（2）错，例如x→∞时，f（x）＝x是无穷大，g（x）＝-x也是无穷大，但是f（x）+g（x）＝0不是无穷大；（3）错，例如x→∞时，f（x）＝2x是无穷大，g（x）＝x也是无穷大，但f（x）-g（x）＝x为无穷大；（4）错，恒不为0的无穷小量的倒数才是无穷大.
2.(1)
;(2)x→∞;(3)x→-∞;(4)x→∞;(5)x→0-;(6)x→1
3.(1)x→∞;(2)x→±1;(3)x→∞;(4)x→-∞;(5)x→0+;(6)x→+∞
4.（1）提示：因为
，取δ＝ε.
（2）提示：∀M＞0，
，当0＜|x|＜δ时，总有
3＞M.
5.(1)0;(2)0;(3)0.
习题2.4
1.（1）错，本题是无限多项和式的极限，不满足极限运算的加法法则（有限个）；（2）错，
的极限不存在，不满足极限运算的减法法则；（3）错
不存在，不满足极限运算的乘法法则.
2.(1)0;(2)
;(3)2;(4)1;(5)
;(6)
;(7)
;(8)-3;(9)
;(10)2;(11)3x2;(12)1;(13)0;(14)+∞.
3.(1)a＝1,b＝1.
4.
.
习题2.5
1.（1）提示：因为
，又
，所以
.
（2）提示：因为
，即
而
，
，故
.
2.(1)1;(2)
;(3)-2;(4)-
;(5)1;(6)x;(7)
;(8)e-4;(9)e10;(10)e10;(11)e3;(12)
.
习题2.6
1.B.
2.2.
3.3x2-2x3是比x-2x2高阶的无穷小.
4.（1）1-x是与1-x2同阶的无穷小；（2）1-x是与
等价的无穷小.
5.(1)
;(2)1;(3)
;(4)
;(5)3;(6)-1;(7)
;(8)
;(9)
;(10)2.
习题2.7
1.C.
2.D.
3.(-∞,-1) (-1,1) (-1,+∞).
4.x＝1.
5.（1）x＝1是函数的可去间断点；x＝2是无穷间断点；
（2）x＝0，x＝kπ+
，k＝0，±1，±2，…为可去间断点，x＝kπ，k≠0，k＝±1，±2，…为无穷间断点；
（3）x＝0是函数的第二类振荡间断点；
（4）x＝1是函数的第一类跳跃间断点；
（5）x＝0为第二类无穷间断点，x＝1为第一类跳跃间断点；
（6）x＝0为第一类跳跃间断点.
6.a＝2.
7.a＝3，b为任意实数.
8.（1）
；（2）x＝1为可去间断点，定义
，则f*（x）在x＝1处连续.
习题2.8
1.A.
2.（1）提示：因为
， 
；所以
1，而f（1）＝1，所以f（x）在x＝1处连续又由
，知f（x）在x＝0处右连续，综上所述，函数f（x）在[0，2]内连续.
（2）提示
，知
不存在，于是f（x）在x＝-1处不连续.又由
，及f（1）＝1知
，从而f（x）在x＝1处连续.综上所述，函数f（x）在（-∞，-1）及（-1，+∞）内连续，在x＝-1处间断.
（3）提示：因为f（x）＝x2cosx+e2在（-∞，+∞）上连续.
（4）提示：当-x2-x+12≥0时，即x∈[-4，3]时，f（x）连续.
3.(1)6;(2)0;(3)e-4;(4)e2;(5)e2;(6)
;(7)
;(8)1;(9)
;(10)
.
4.提 示
，则e3a＝8，所以a＝ln2.
习题2.9
1.提示：令f（x）＝xlnx-2，则f（x）在[1，e]上连续，又f（1）＝-2＜0，f（e）＝e-2＞0.
2.提示：令f（x）＝x5+x-1，则f（x）在（-∞，+∞）内连续，又f（0）＝-1＜0，f（1）＝1＞0.
3.提示：令f（x）＝x·2x-1，则f（x）在[0，1]上连续，且f（0）＝-1＜0，f（1）＝1＞0.
4.提示：令F（x）＝f（x）-f（x+a）.
5.提示：令F（x）＝f（x）-x.
6.提示：设f（x）＝x5-3x-1.
7.提示：令φ（x）＝f（x）-f（x+a）.
8.提示：令f（x）＝x+1+sinx.
习题2
1.(1)C (2)A (3)C (4)D (5)D (6)D (7)D (8)D (9)B (10)B
2.（1）-9；（2）0；（3）k＞0；（4）0；（5）1/2；（6）2；（7）a＝-
；（8）ln2；（9）跳跃；（10）b＝2.
3.(1)
;(2)0;(3)1;(4)
;(5)1;(6)
;(7)
;(8)e3;(9)
;(10)
.
4.(1)a＝1,b＝-
;(2)a＝-4,b＝0.
5.（1）提示：由已知得
，则
，即f（x）+g（x）与g（x）是等价无穷小.
（2）提示：令F（x）＝f（x）-x.
自测题2
1.(1)B (2)A (3)B (4)B (5)D.
2.（1）a＝4，b＝10；（2）3；（3）2；（4）二，无穷；（5）3.
3.(1)
;(2)
;(3)e-1;(4)
;(5)1;(6)1;(7)
;(8)1.
4.(1)
;(2)a＝3,b＝ln3.
5.（1）提示
，原式＝1；
（2）提示：令f（x）＝x-2sinx.
第3章 导数与微分
习题3.1
1.（1）对；（2）错；（3）错.2.A. 3.B. 4.（1）f′（a）；（2）f（0）；（3）2；（4）0，1.
5.(1)-2f′(x0);(2)-f′(x0);(3)
;(4)f′(x0).
6.(1)
;(2)
;(3)2xln2;(4)
.
7.（1）分段函数f（x）在x＝0处连续但不可导
.
（2）分段函数f（x）在x＝0处连续可导
.
8.（1）切线方程y＝π-x，法线方程y＝x-π；
（2）切线方程x-ey＝0，法线方程y＝-ex+e2+1.
9.3x-y-4＝0.
10.t＝2时，速度Vt＝S′t＝6米/秒，加速度a＝V′t＝2m/s2.
11.a＝2,b＝1.
习题3.2
1.（1）不一定.（2）对.
2.(1)
;(2)
;
(3)3x2+3xln3;(4)5xex(ln5+1);
(5)
;(6)2xlnx+x+
;
(7)(2x-1)cosx-x2sinx;(8)tanx+xsec2x+csc2x;
(9)
;(10)sinxlnx+xcosxlnx+sinx;
(11)
;(12)
;
(13)
;(14)exarccosx-ex
.
(15)
;(16)
;
(17)2xcos(x2+1);(18)-5sin(5x-2);
(19)-6xe-3x2;(20)3cosxe3sinx;
(21)
;(22)y＝arctanex2
;
(23)
;(24)
;
(25)-e-x(cos3x+3sin3x);(26)-2xex2sinex2;
(27)
;(28)
;
(29)(ln2)2sin2xsin2x;(30)2x(lna)atanx2sec2x2;
(31)
;(32)
3.(1)-5;(2)f′(1)＝
;
(3)3e;(4)-2.
4.(1)3x2f′(x3);(2)
;
(3)y＝f′{f [f(x)]}f′[f(x)]f′(x);(4)sin2x[f′(sin2x)-f′(cos2x)];
(5)(ex+e·xe-1)f′(ex+xe);(6)ef(x)[exf′(ex)+f(ex)f′(x)].
5.略.
6.证明略.
习题3.3
1.(1)
;(2)
;
(3)
;(4)y′＝-csc2(x+y);
(5)
; (6)
;
(7)
;(8)
.
2.
.
3.
.
4.(1)y′＝(lnx)x(lnlnx+
) ;
(2)y′＝xsinx(cosxlnx+
);
(3)
;
(4)
;
(5)
;
(6)
.
5.(1)
;(2)
;
(3)
;(4)
6.
.
7.
，法线方程为y-1＝
（x-0），即2x+y-1＝0
8.切线方程为x+2y-4＝0；法线方程为2x-y-3＝0.
习题3.4
1.(1)
;(2)y″＝2cosx-xsinx;
(3)y″＝2e-xsinx;(4)
;
(5)y″＝ex(x2+4x+2);(6)
;
(7)
;(8)
;
(9)y″＝2sec2xtanx;(10)
.
2.(1)
;(2)e-x[f′(e-x)+f″(e-x)e-x].
3.答案略.
*4.(1)(ln2)n(2x);(2)2ne2x;
(3)
;(4)ex(x+n);
(5)
;(6)
5.(1)
;(2)
;
(3)-2csc2(x+y)cot3(x+y);(4)
.
6.(1)
;(2)
;
(3)
;(4)
.
7.(1)-4excosx;(2)
.
习题3.5
1.A 2.C.
3.(1)(2x+cos)dx;(2)(1+x)ex dx;
(3)
;(4)
;
(5)dy＝e-x(sin(3-x)-cos(3-x))dx;(6)
;
(7)＝(sin2x+2xcos2x)dx;(8)e-x[2sin4x-sin2(2x)]dx;
(9)
;(10)
;
(11)
;(12)
.
4.(1)
;(2)
;
(3)
;(4)
;
(5)
;(6)
5.Δy＝5(1+0.02)3-5(1)3＝0.30604,
.
6.dy＝
;
＝edx.
7.(1)2x+C;(2)
;(3)sinx+C;(4)
.
(5)ln(1+x)+C;(6)
;(7)
.
8.(1)0.805;(2)1.0025;(3)0.002;(4)2.083.
9.圆球壳重的精确值是
；
圆球壳重的近似值是
.提示：球体重公式：W＝W（r）＝
.
10.约为2.23cm.
11.提示
所以ln（1+x）≈x
*12.约为277cm3.
*13.0.667%.
习题3
1.(1)B (2)C (3)C (4)D (5)C (6)D
(7)A (8)B (9)B (10)C (11)B (12)D
(13)A (14)C (15)D (16)D (17)B (18)C
2.(1)y-1＝
;(2)(1,0);
(3)3;(4)
;
(5)
;(6)-3csc3xcot3x+
;
(7)
;(8)0;
(9)
;(10)2;
(11)ex;(12)f′(x)＝aaxaa-1+axa-1axalna+axaaxln2a;
(13)3A;(14)
;
(15)y-8＝3(x -5);(16)
;
(17)2πrΔr;(18)-0.001.
3.(1)
;(2)axlnaxa+axaxa-1;
(3)
;(4)
;
(5)2cos2x-2xcscx2tanx2;
(6)
;
(7)
;(8)
;
(9)
;(10)
;
(11)6-4sin2x+18sec3xtan3x;(12)
;
(13)1;(14)edx.
4.(1)(y-y0)＝
. (2)y＝-x. (3)b＝1,a＝0. (4)1.0349.
5.（1）略.（2）提示：利用导数的定义确定端点函数值的符号，验证f（x）满足零点定理条件.
自测题3
1.(1)-2;(2)-1;(3)πlnπ+π;(4)-e-xf′(e-x)cosf(e-x)dx;
(5)f′(tanx)·sec2x,f″(tanx)·sec4x-f′(tanx)·2sec2xtanx;
(6)
;
(7)sin2x,2cos2x;(8)e2t+2te2t;(9)
;(10)
.
2.(1)B;(2)A;(3)C;(4)A;(5)D;(6)B;(7)C;(8)C;(9)B;(10)C.
3.(1)y′＝15x2-2xln2+3ex;(2)y′＝2sec2x+secxtanx;(3)
;
(4)dy＝esin2xsin2xdx;
(5)y″＝
;
(6)
;(7)
;
(8)9.
4.(1)f′(a)＝φ(a),f″(a)＝2φ′(a). (2)-1. (3)a＝b＝-1.
（4）曲线在（1，0）处的切线方程为y＝2（x-1），即2x-y-2＝0；
曲线在（-1，0）处的切线方程为y＝2（x+1），即2x-y+2＝0.
5.f′(x)＝
＝f(x)·f′(0)＝f(x).
第4章 微分中值定理及导数的应用
习题4.1
1.错误.对于两个不同的函数f（x）和F（x），拉格朗日中值公式中的ξ未必相同.
2.
. 3.ξ＝
. 4～10.证明略.
11.提示：分别使用拉格朗日中值定理和柯西中值定理来证明.
习题4.2
1.（1）错误.正确解法
.此题使用一次洛必达法则以后结果不再满足洛必达法则条件，不能继续使用.
（2）错误.正确解法
.不能由分子分母求导后的式子极限不存在就断定原式极限不存在.
2.(1)
(2)
;(3)2 (4)2 (5)3 (6)1
(7)0 (8)0 (9)0 (10)1(11)1 (12)1
(13)
(14)ea (15)
(16)e(17)
(18)
3.提示：利用洛必达法则计算出f（x）在x＝0点的右极限.
4.证明略.
习题4.3
1.（1）不能断定.例如
，但是
，
当
时
，当
时，f′（x）＝-1＜0，
注意k可以任意大，故在x0＝0点的任何邻域内，f（x）都不单调递增.
（2）不一定.例如：y＝x4，x∈（-∞，+∞），y″（0）＝0，但（0 ，0）并不是曲线f（x）的拐点.
2.D.
3.单调增加.
4.y在
单调减少；y在[-∞，0]∪
单调增加.
5.（1）在（-∞，-1]∪[3，+∞）内单调增加，在[-1，3]上单调减少.
（2）在[0，1]上单调增加，在[1，2]上单调减少.
（3）在（-∞，0）∪（0，+∞）内单调增加.
（4）在（-∞，+∞）内单调增加.
6.提示：（1）、（2）、（3）均可利用函数的单调性判别法进行证明.
7.只有一个根，且x＝0. 8.证明略.
9.（1）在
上曲线为凸，在
上曲线为凹，
为拐点；（2）曲线为凹；(https://www.daowen.com)
（3）在（-∞，-1）∪（1，+∞）上曲线为凸，在（-1，1）上曲线为凹，（1，ln2），（-1，ln2）为拐点；
（4）在
上曲线为凹，在
上曲线为凸
为拐点.
10.证明略. 11.
12.
习题4.4
1.(1)× (2)× (3)× (4)×
2.(1)C (2)B (3)D
3.（1）极大值10，极小值-22 （2）极大值
，极小值0；
（3）极大值4e-2，极小值0；（4）极大值-1，极小值-3；
（5）极小值108；（6）极大值4e-2，极小值0；
（7）极大值
；（8）极大值
，极小值0.
4.x＝1为极小值点.
5.（1）最大值142，最小值7 （2）最大值
，最小值
（3）最大值
，最小值
（4）最大值
，最小值-e
（5）最大值1 （6）最大值-1
6.1
7.
8.1
9.1800
10.2.45h
11.vymax＝
12.提示：根据系统的动量守恒和机械能守恒.
13.(1)1000 (2)6000
14.(1)
(2)t＝2
习题4.5
1.y＝0是渐近线，x＝0不是渐近线，因为
.
2.B.
3.（1）水平；（2）铅直；（3）斜.
4.（1）水平渐近线y＝0；铅直渐近线x＝-1；（2）斜渐近线y＝x和y＝-x；
（3）铅直渐近线x＝-1；斜渐近线y＝x-1；（4）铅直渐近线x＝1；斜渐近线y＝2x+4.
5.略.
习题4
1.(1)B (2)B (3)D (4)B
2.(1)
(2)
(3)
(4)y＝0,x＝1
3.(1)
(2)
(3)0 (4)
（5）不存在 （6）
（7）e （8）
4.证明略.
5.证明略.
6.极小值f（-2）＝2.
7.证明略.
8.
.
9.a＝arcsin
.
10.略.
11.(1)C′(Q)＝5+
,R′(Q)＝200+
,L′(Q)＝195-
(2)L′(25)＝192.5 (3)1950.
自测题4
1.(1)B (2)D (3)B (4)D (5)B
2.(1)1,1;(2)
(3)4 (4)
3.(1)2 (2)
(3)
(4)e2
（5）当
时，f（x）单调减少；当
时，f（x）单调增加
(6)(1,-7)
4.（1）在（-∞，-1]∪[1，+∞）上单调减少，在[-1，1]上单调增加，极小值为y（-1）＝
，极大值为y（1）＝
.
（2）当k≥0或k＜arccos
时，方程在
内无实根；
当arccos
时，有两个实根；
当k＝arccos
时，有唯一实根.
（3）长为18m，宽为12m.
5.证明题略.
第5章 不定积分
习题5.1
1.(1)D (2)D (3)B (4)B (5)A
2.(1)f(x)dx f(x)+C f(x)+C (2)y＝x2+1
3.（1）错，
对；（3）错，k≠0
4.(1)5x+C (2)
(3)
(4)
(5)
(6)-2cosx-4sinx+C
(7)ex-lnx+C (8)-cosx+
(9)
(10)2arcsinx-x+C
(11)
(12)-4cotx+C
(13)tanx-x+C (14)
5.x(t)＝
-2arctant+1
6.证明略.
习题5.2
1.(1)C (2)C (3)A (4)C (5)D
2.(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)2(10)
3.（1）错
（2）对
（3）错
4.(1)ln|x2-3x+8|+C (2)
+C
(3)
+C (4)-cosex+C
(5)
(x2-3x+1)101+C (6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)x-ln(1 +ex)+C
(13)
(14)
5.(1)
(2)
(3)
(4)x-3arctan
+C
(5)
(6)arcsin
+C
6.(1)
（2）
+C或（s inx）2+C或-（c osx）2+C
(3)
(4)-cosex+C
(5)
(6)
(7)arcsintanx( )+C
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
7.
8.
9.
习题5.3
1.(1)C (2)A (3)C
2.(1)sect (2)tant (3)sint (4)
3.错，
习题5.4
1.(1)u＝lnx,dv＝x2dx (2)u＝arctanx,dv＝x2dx (3)u＝arctanx,dv＝dx
2.错，因为不定积分是积分曲线族，而不是某一个具体的函数，因此该等式不正确，改正为
3.(1)
(2)-xe-x-e-x+C
(3)
(4)(x+1)arctan
+C
(5)xlnx-x+C
(6)xtanx-ln
+C
(7)xtanx+ln|cosx|+C
(8)
[cos(lnx)+sin(lnx)]+C
(9)
(10)
(11)xln2x-2xlnx+2x+C
(12)
(13)
(sin5x+5cos5x)+C
(14)
(cos2x+2sin2x)+C
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
4.证明
根据题意
，再注意到
，两边同时对x求导，得f（x）＝-2xe-x2，
所以 
5.xtan
+C 6.cosx-2
+C
习题5.5
1.
2.
3.(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)ln[(x-2)(x+5)]+C
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
（16）令
习题5
1.(1)D (2)A (3)B (4)A (5)D
2.(1)
(2)
(3)
(4)xlnx-x+C
(5)e-x+C
3.(1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)×
4.(1)
(2)
(3)-sinx+cosx+C
(4)
(5)arctanex+C
(6)arcsin(tanx)+C
(7)
(8)
(9)
(10)(x2-2x+2)ex+C
(11)
(12)xtanx+ln|cosx|+C
(13)
(14)
(15)
(16)
+arcsinx+C
(17)
（18）分解为
(19)
(20)
5.f（x）＝ex或e-x
自测题5
1.(1)A (2)C (3)B (4)B (5)A
2.(1)
(2)y＝x2+1
(3)
(4)
(5)xarctanx-
ln(1 +x2)+C
3.(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
4.(1)
(2)
-x+arctanx+C
(3)tanx-x+C
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
5.s＝t2-t+4
6.证明：∫f（ax+b）dx＝
∫ f（ax+b）d（a x+b）＝
F （ax+b）+C
7.解：f （x）＝∫（ax2-3x-6）dx＝
-6x+C
f′（-1）＝a+3-6＝0⇒a＝3，且f（-1）＝
+6+C⇒C＝2
所以f′x（）＝3x2-3x-6＝3x-2（ ）x+1（ ）＝0⇒x＝2，x＝-1
所以f （x）＝
-6x+2，那么f（x）的极小值f（2）＝-8（证明过程略）.
第6章 定积分及其应用
习题6.1
1.（1）错.定积分的值与积分区间以及被积函数有关；（2）错.已知y＝f（x）在区间[a，b]上连续，定积分
在几何上表示由曲线y＝f（x）、x轴及两条直线x＝a、x＝b围成的曲边梯形的面积的代数和，x轴上方的面积取正，x轴下方的面积取负；（3）正确.
2.(1)C(b-a) (2)6
3.(1)1;(2)0.
4.(1)
(2)
5.
6.
7.（1）2 （2）
（3）
8.证明略 9.证明略
10.
(t2-4t+3)dt
或
习题6.2
1.（1）错.若
不能得出f（x）处处大于等于g（x）；（2）错.例如两个函数的函数值均小于0的情况结论不成立.
2.证明略.
3.证明略.
4.略.
5.x-1 提示
是确定常数
6.(1)[6,51] (2)[π,2π]
(3)
7.证明略.
8.提示：利用定积分中值定理.
9.提示：利用性质6.2.4及定积分中值定理.
10.
.
11.38.
习题6.3
1.错，如f（x）＝
在 [ -a，a]上不可积，不能使用牛顿—莱布尼茨公式.
2.
.
3.（1）
；提示
(2)
(3)
(4)(sinx-cosx)cos(πsin2x)
4.cott
5.
6.(1)
(2)
(3)
(4)
(5)-1 (6)
(7)4 (8)
7.证明略.
8.Φ(x)＝
9.提示：作辅助函数F（t）＝2
，F（0）＝0.由积分中值定理，存在ξ∈[0，t]⊂[0，b]，使得
，所以F′（t）＝tf（t）-tf（ξ）≥0，即F（t）是增函数，又F（0）＝0，原题得证.
10.
提示：原式＝
11.
习题6.4
1.（1）错.换元过程没有考虑到改变上、下限的对应值；（2）错.正确解法：
2.(1)0 (2)
(3)
(4)0
(5)
(6)
(7)
(8)3π2
3.
.
4～6证明略.
7.提示
8.(1)
(2)
(3)-2π (4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
;(10)e-2.
9.2
10.f(x)＝x+2.
*习题6.5
1.（1）错，[a，b）可能存在瑕点；（2）对.
2.B
3.p＜-2
4.π
5.（1）发散 （2）发散 （3）收敛 （4）发散
（5）收敛 （6）发散 （7）收敛 （8）收敛
6.（1）发散 （2）发散 （3）
（4）π
（5）
（6）0 （7）
（8）发散 （9）
（10）
7.（1）当k＞1时收敛于
；（2）当k≤1时发散；（3）当
时取得最小值.
习题6.6
1.
.
2.(1)
;(2)1;(3)
;(4)
.
3.
.
4.
.
*5.
.
6.7π.
7.
.
8.
.
9.
.
10.
.
11.
12.2π2a.
*13.
.
14.3462(kJ).
15.
.
16.(1)
;(2)
.
17.
，Fy＝0（供参考，跟坐标系的建立有关系）.
18.18mgJ.
*19.8646.65;63890.56.
*20.316.29.
*21.
.
习题6
1.(1)√;(2)√;(3)×;(4)×;(5)×;(6)√.
2.(1)0 -cost2cost2 (2)0 0 (3)1 (4)2xe-x2
(5)
(6)
(7)
(8)ln
(9)
(10)
(11)3x2cos(1 -x3)(12)
(13)
(14)π (15)p＜-1
3.（1）
提示：上下同乘x；
(2)
-ln|sin1+cos1|;
(3)
;(4)ln2;(5)
;
(6)
(7)y＝0
(8)F (x)＝
(9)
（10）当q＜1时，该广义积分收敛，其值为
，当q≥1时，该广义积分发散.
4.(1)
.(2)a＝3. (3)a＝2,b＝-3,c＝3.
(4)S＝1,Vx＝
.(5)12. *(6)
.
(7)
. (8)
. (9)
.
(10)800πln2. (11)MgX-
.(12)1.65N.
(13)
.
*（14）.①
；②20年；11，353元.
5.（1），（2），（5）略.
（3）提示：左-右
（4）提示：作辅助函数F（x）＝（a+x）
，F′（x）＝
.
自测题6
1.(1)B (2)C (3)C (4)D (5)D (6)B (7)D (8)A
2.（1）
或
3.提
4.提
5.提示：（1）F′（x）＝f （x）+
(2
又F（x）在[a，b]连续，由介值定理知F（x）＝0在（a，b）内至少有一根.
又F′（x）＞0，则F（x）单增，从而F（x）＝0在（a，b）内至多有一根.
故F（x）＝0在（a，b）内有且仅有一个根.
