2.4  多项式的因式分解

2.4 多项式的因式分解

所谓多项式的因式分解就是把一个多项式写成一些次数较低的多项式的乘积的形式.如同整数的算术基本定理一样，本节将证明数域上的一元多项式环中的唯一分解定理.

定义2.7 设f（x）是数域F上的非常数多项式，若存在数域F上的两个非常数多项式g（x），h（x），使得f（x）=g（x）h（x），则称f（x）是数域F上的可约多项式.否则，f（x）就称为数域F上的不可约多项式.

多项式是否可约和数域F的选取密切相关.例如，多项式x²-2作为有理数域上的多项式是不可约的，但是，作为实数域上的多项式却是可约的.另外，我们可以看到在可约的定义中多项式g（x）与h（x）的次数都至少是1，因此多项式f（x）的次数至少是2.这样，我们就可以得到一次多项式都是不可约多项式.

引理2.2 若p（x）是不可约多项式，f（x）是非零多项式，则有（p（x），f（x））=1或者p（x）|f（x）.

证明：若（p（x），f（x））=d（x）≠1，则degd（x）>0.并且有p（x）=d（x）h（x），又p（x）是不可约多项式，因此，h（x）是常数多项式，即d（x）=cp（x），c是一个常数，这样就有p（x）|f（x）.证毕.

引理2.3 若p（x）是不可约多项式，且p（x）|f（x）g（x），则p（x）|f（x）或者p（x）|g（x）.

证明：若p（x）不能整除f（x），由引理2.2必有（p（x），f（x））=1，因此p（x）|g（x）成立.证毕.

定理2.5（多项式唯一分解定理） 数域F上的任意非常数多项式，都可分解成数域F上的一些不可约多项式的乘积，并且在不计因式的次序和常数因式的情况下，这样的分解是唯一确定的.

证明：存在性，对数域F上的多项式f（x）的次数用归纳法.当degf（x）=1时，结论显然正确.假设当degf（x）≤n时，结论成立.那么当degf（x）=n+1时，若多项式f（x）本身是一个不可约多项式，则结论已经成立.若f（x）可约，则存在两个非常数的多项式g（x），h（x），使得f（x）=g（x）h（x），g（x）和h（x）的次数都小于f（x）的次数，由归纳法易见结论成立.

唯一性，若f（x）有两种分解

f（x）=ap₁（x）p₂（x）…p_t（x）=bq₁（x）q₂（x）…q_s（x），

其中p_i（x），q_j（x）都是不可约的首一多项式，a，b是常数.显然，a=b，因此有

p₁（x）p₂（x）…p_t（x）=q₁（x）q₂（x）…q_s（x）， （2.21）

由式（2.21）可得p₁（x）|q₁（x）q₂（x）…q_s（x），由引理2.3，p₁（x）整除某个多项式q_i（x），不妨假定p₁（x）|q₁（x）.由于，q₁（x）也是不可约多项式，可得p₁（x）=q₁（x）.式（2.21）变成

p₂（x）…p_t（x）=q₂（x）…q_s（x），

以此类推，可得s=t且f（x）的两分解式完全相同.证毕.

推论2.1 数域F上的多项式f（x）可以分解为

的形式，其中a是常数，p_i（x）是数域F上的不可约多项式，λ_i≥1，1≤i≤s.

上述推论中，多项式f（x）的这种形式的因式分解式称为f（x）的标准分解式.

推论2.2 设p_i（x）是数域F上的首一的不可约多项式，1≤i≤s.数域F上的多项式f（x），g（x）有分解式

其中，a，b是数域F中的数，λ_i，μ_i≥0，0≤i≤s，则有

并且有

若不可约多项式p（x）是f（x）的因式，且p^k（x）|f（x），但是p^k+1（x）f（x），这里k≥1，则称p（x）是f（x）的k重因式.当k≥2时，称为重因式；当k=1时，称为单因式.

定义2.8 设数域F上的多项式f（x）=a_nxⁿ+…+a₁x+a₀，则多项式

na_nx^n-1+（n-1）a_n-1x^n-1+…+a₁(https://www.daowen.com)

称为f（x）的形式导数，记作f′（x）.

形式导数可以继续求导数，得到二阶形式导数.继续进行下去，我们可以归纳定义k阶形式导数如下：

f^（k）（x）=（f^（k-1）（x））′.

容易验证形式导数的简单性质：

（1）（cf（x））′=cf′（x）；

（2）（f（x）±g（x））′=f′（x）±g′（x）；

（3）（f（x）g（x））′=f′（x）g（x）+f（x）g′（x）；

（4）（f（n）（x））′=nf′（x）f（n-1）（x）.

值得注意的是，在这里我们并未定义极限等概念，因此是无法定义微积分中的导数的.因此我们定义的导数称为形式导数，只考虑导数的形式的话与微积分中的导数毫无二致.

定理2.6 多项式f（x）有重因式的充分必要条件是（f（x），f′（x））≠1.

证明：必要性.设p（x）是f（x）的重因式，重数是k≥2，则f（x）=p^k（x）g（x），由形式导数的性质（3）、性质（4）可得

f′（x）=kp′（x）p^k-1（x）g（x）+p^k（x）g′（x）=p^k-1（x）（kp′（x）g（x）+p（x）g′（x））.

显然，p（x）|（f（x），f′（x）），从而（f（x），f′（x））≠1.

充分性.若（f（x），f′（x））≠1，则（f（x），f′（x））是一个次数大于等于1的多项式，设p（x）是它的一个不可约因式，则p（x）|f（x）且p（x）|f′（x），因此f（x）=p^k（x）g（x），则有

f′（x）=kp′（x）g（x）+p^k（x）g′（x），

因此p（x）|p′（x）g（x），因p（x）是不可约多项式，则有p（x）|g（x），即p（x）至少是f（x）的二重因式.证毕.

推论2.3 若多项式f（x）有一个k>1重因式h（x），那么h（x）一定是f（x）与其形式导数f′（x）的k-1重公因式.

证明：由定理2.6必要性的证明即可看出这个结论.

习题

2.4.1. 判断下列多项式是否有重因式.

（1）x⁴-3x³+4x²-3x+1； （2）x⁴-2x³+3x²-2x+1；

（3）x⁴+x²+1； （4）x⁵-2x⁴-x³+5x²-4x+1.

2.4.2. 确定a，b，使得（x-1）2|ax⁴+bx³+1.

2.4.3. 证明：多项式x⁴+px²+q不可能有三重因式.

2.4.4. 证明：三次多项式x³+px+q有重根的充分必要条件是4p³+27q²=0.

2.4.5. 证明：g²（x）|f²（x）的充分必要条件是g（x）|f（x）.

2.4.6. 设p（x）是次数大于零的多项式，如果对任意多项式f（x），g（x），从p（x）|f（x）g（x）可以推出p（x）|f（x）或p（x）|g（x），则p（x）是不可约多项式.

2.4.7. 设F[x]中的多项式p（x）的次数大于1.如果对于F[x]中任意的多项式f（x）或者p（x）|f（x），或者（p（x），f（x））=1，求证：p（x）在F上不可约.

2.4.8. 证明：次数大于零的多项式f（x）是一个不可约多项式的方幂的充分必要条件是对任意多项式g（x），必有（f（x），g（x））=1或者对某个整数m，f（x）|g^m（x）.