2.5  多项式的根

2.5 多项式的根

设f（x）=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀是数域F上的多项式，α是数域F中的一个元素，那么a_nαⁿ+a_n-1α^n-1+…+a₁α+a₀∈F称为多项式f（x）在x=α处的值，记作

f（α）=a_nαⁿ+a_n-1α^n-1+…+a₁α+a_0.

这样，我们就可以利用数域F上的多项式f（x）在数域F上定义一个多项式函数f（x），并且这样定义的多项式函数与通常使用的函数是一样的.

定义2.9 设f（x）是数域F上的多项式，若f（x）在点x=α的值f（α）=0，则称x=α是多项式f（x）的根或零点；或称α是方程f（x）=0的根或解.

定理2.7（余数定理） 设r是一个常数，则多项式f（x）除以x-r的余式是f（r）.

证明：由带余除法，存在多项式q（x）以及常数c使得

f（x）=（x-r）q（x）+c，

令x=r代入求值即可以得到c=f（r）.证毕.

定理2.8 一次多项式x-r整除多项式f（x）的充分必要条件是f（r）=0.

例2.14 设f（x）=x³-x²+x-1，由于f（1）=0，所以x-1|f（x）.

例2.15 给出一个多项式可以分别被x，x-1和x+1整除的判别条件.

解：考虑利用定理2.8.可得如下结果：

（1）多项式f（x）可以被x整除的充分必要条件是f（x）的常数项是零.

（2）多项式f（x）可以被x-1整除的充分必要条件是f（x）的系数和是零.

（3）多项式f（x）可以被x+1整除的充分必要条件是f（x）的奇次项系数和与偶次项系数和相等.

推论2.4 数域F上的n次多项式至多有n个不同的根.

证明：设f（x）是数域F上的多项式，对f（x）的次数n使用归纳法.

当n=1时，f（x）显然在F内有一个根，命题成立.假设当degf（x）=n≤k时，f（x）在F内至多有n个根，那么当degf（x）=n=k+1时，若f（x）在F内没有根，则命题成立；若f（x）在F内有一个根α，那么由余数定理可以得到

f（x）=（x-α）f₁（x），

这里degf₁（x）=k，由归纳假设f₁（x）至多有一个根，因此f（x）在F内至多有k+1个根.由归纳法知命题总是正确的.证毕.

推论2.5 如果数域F上的n次多项式在F上有n+1个不同的根，则它恒等于零.

证明：若α₁，α₂，…，α_n+1是n次多项式f（x）的不同的根.显然，x-α_i一定两两互素，因此，

f（x）=q（x）（x-α₁）（x-α₂）…（x-α_n+1），

考虑多项式两端的次数可以看到只有f（x）=0.证毕.

推论2.6 若两个n次多项式在n+1个不同的点取值相同，则它们必相等.

证明：设f（x），g（x）是数域F上的n次多项式，且在n+1个不同的点α_i，i=1，2，…，n+1取值相同，即f（α_i）=g（α_i）.作多项式h（x）=f（x）-g（x），那么h（α_i）=0，i=1，2，…，n+1，因此，h（x）=0即f（x）=g（x）.证毕.

若r是多项式f（x）的一个根，则f（x）可以写成f（x）=（x-r）mg（x）的形式，这里m≥1，且g（r）≠0，称r是f（x）的m重根，m称为根r的重数.当m≥2时，r称为重根；当m=1时，r称为单根.

推论2.7 数域F上的n次多项式在F内至多有n个根（重数计算在内）.

例2.16 求一个三次多项式f（x），使得f（x）+1能被（x-1）²整除；而f（x）-1能被（x+1）²整除.

解：设三次多项式f（x）=a₃x³+a₂x²+a₁x+a₀，因为f（x）-1能被（x+1）²整除，知-1是多项式f（x）-1的二重根，即f（x）-1及其形式导数在-1的值均为零，因此，

-a₃+a₂-a₁+a₀-1=0， （2.22）

3a₃-2a₂+a₁=0. （2.23）(https://www.daowen.com)

同理，由（x-1）²整除f（x）+1，有

a₃+a₂+a₁+a₀+1=0， （2.24）

3a₃+2a₂+a₁=0. （2.25）

式（2.25）减去式（2.23）得

a₂=0；

式（2.22）加上式（2.24）得

a₀=-a₂=0.

代入式（2.24）、式（2.25）两式得

a₃+a₁=-1，3a₃+a₁=0，

解得

即

习题

2.5.1. 计算下列多项式分别除以x-2和x+1的余式.

（1）x³-7x²+8x-9； （2）2x³+3x²+6x+5；

（3）x⁴-3x³+4x²-2x-4； （4）x⁶-x⁵+x⁴-x³+x²-x+1.

2.5.2. 判断r是否为多项式f（x）的根.

（1）f（x）=7x³+8x²-24x+9，r=1，-1；

（2）；

（3）f（x）=2x²-（2-7i）x-（6+3i），r=1-2i，i.

2.5.3. 确定2作为多项式x⁵-5x⁴+7x³-2x²+4x-8的根的重数.

2.5.4. 确定-2作为多项式x⁵+7x⁴+16x³+8x²-16x-16的根的重数，并求出这个多项式的全部根.

2.5.5. 确定系数a，使得-1是多项式x⁵-ax²-ax+1的重数不低于2的根.

2.5.6. 如果x-1|f（xⁿ），那么xⁿ-1|f（xⁿ）.

2.5.7. 证明：1是多项式x²ⁿ-nxⁿ⁺¹+nx^n-1-1的三重根.

2.5.8. 证明：多项式

没有重根.

2.5.9. 设f（x）=x⁴+x³-1，g（x）=x⁴-x³-2x²+1，证明：如果f（x）=0，那么必有g（x²）=0.

2.5.10. 设p（x）是一个n次多项式，且，0≤k≤n，计算：p（n+1）.

2.5.11. 多项式f（x）可约的充分必要条件是多项式f（x+a）可约.