4.1  线性空间的定义

4.1 线性空间的定义

定义4.1 设F是数域，V是一个非空集合，V中的元素具有两种运算，分别称为加法运算和数乘运算.所谓加法运算，就是一个对应法则，该法则使得集合V中任意两个元素α，β都对应于集合V中一个确定的元素γ，并称γ为元素α与β的和，记作γ=α+β.数乘运算是集合V中元素与数域F中的元素之间的运算法则，该法则使得集合V中任意一个元素α与数域F中任意一个数k，都对应于V中一个确定的元素δ，并称δ为k与α的数量乘积（或纯量乘积），记作δ=kα.如果上面定义的加法运算与数乘运算满足下面八条性质：

（1）对任意的V中元素α，β∈V，总有α+β=β+α；

（2）对任意的V中元素α，β，γ∈V，总有（α+β）+γ=α+（β+γ）；

（3）V中存在一个元素θ∈V，使得对任意元素α∈V，总有α+θ=α，并称元素θ为V中的零元；

（4）对任意的V中元素α∈V，存在一个V中元素β∈V，使得α+β=θ，并称元素β为元素α的负元；

（5）对任意的V中元素α∈V，以及数域F中元素k，l∈F，总有（k+l）α=kα+lα；

（6）对任意的V中元素α，β∈V，以及数域F中元素k∈F，总有k（α+β）=kα+kβ；

（7）对任意的V中元素α∈V，以及数域F中元素k，l∈F，总有（kl）α=k（lα）；

（8）对任意的V中元素α∈V，总有1α=α，则称集合（V，+，·）构成数域F上的线性空间，通常简称V是F上的线性空间或者V是线性空间.

下面我们给出一些常见的线性空间的例子.

例4.1 所有平面向量的集合

V={（x，y）|x，y∈R}构成实数域R上的线性空间，其加法运算和数乘运算就是普通的向量的加法和数乘运算.

例4.2 所有空间向量的集合

V={（x，y，z）|x，y，z∈R}构成实数域R上的线性空间，其加法运算和数乘运算就是普通的向量的加法和数乘运算.

例4.3 记全体n元有序数组的集合为

Rⁿ={（x₁，x₂，…，x_n）|x₁，x₂，…，x_n∈R}，

在Rⁿ中定义如下加法运算和数乘运算

（x₁，x₂，…，x_n）+（y₁，y₂，…，y_n）=（x₁+y₁，x₂+y₂，…，x_n+y_n），

k（x₁，x₂，…，x_n）=（kx₁，kx₂，…，kx_n）

之后，Rⁿ构成实数域R上的线性空间.

例4.4 定义在数域F上的全体m×n阶矩阵组成的集合构成数域F上的线性空间，其中的加法和数乘运算就是矩阵的加法与数乘运算.通常把这个线性空间记作M_m×n（F），如果是n阶方阵的集合，则记作M_n（F）.

例4.5 定义在闭区间[0，1]上的全体连续函数的集合C[0，1]构成实数域R上的线性空间，其加法和数乘运算就是普通的函数加法和数与函数的乘法运算.

例4.6 定义在闭区间[0，1]上的全体可积函数的集合构成实数域R上的线性空间，其加法和数乘运算就是普通的函数加法和数与函数的乘法运算.

例4.7 一元实系数多项式环R[x]构成R上的线性空间，其加法和数乘运算就是普通的多项式加法和数与多项式的乘法运算.

例4.8 次数不超过n的全部实系数多项式的集合

R_n[x]={a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₀|a_i∈R，i=0，1，2，…，n}

构成一个R上的线性空间.

例4.9 在正实数的集合R₊上，定义加法运算⊕及实数域R中的实数与R₊中正实数之间的数量乘积⊗，如下：

（1）a⊕b=ab，对任意的a，b∈R₊；

（2）k⊗a=a^k，对任意的a∈R₊及k∈R.

可以验证，R₊构成实数域R上的线性空间.

依照线性空间的定义容易得到线性空间的简单性质.

命题4.1 在线性空间中，零元是唯一的.(https://www.daowen.com)

证明：设线性空间V具有两个零元θ和θ′，由定义4.1中的第三条知道，

θ=θ+θ′=θ′，

因此零元是唯一的.证毕.

由于线性空间的零元是唯一的，因此，今后我们把线性空间中的零元记作0.

命题4.2 在线性空间中，负元是唯一的.

证明：设在线性空间中元素β，β′都是元素α的负元，即

α+β=0，α+β′=0，

则

β=β+0=β+（α+β′）=（β+α）+β′=0+β′=β′，

因此负元是唯一的.证毕.

由于线性空间中一个元素的负元是唯一的，因此，在一个线性空间中，元素α的负元记作-α.

命题4.3 在线性空间V中，

（1）对数域F中任意的数k∈F，有k0=0；

（2）对线性空间V中任意的元素α，有0α=0.

证明：（1）由于

k0+k0=k（0+0）=k0，

两端同时加上k0的负元，就得到k0=0.

（2）由于

0α=（0+0）α=0α+0α，

两端同时加上0α的负元，就得到0α=0.证毕.

命题4.4 在线性空间中，总有（-1）α=-α.

证明：由于

α+（-1）α=[1+（-1）]α=0α=0，

则有（-1）α=-α.证毕.

命题4.5 在线性空间中，若kα=0，则k=0或α=0.

证明：若k≠0，则

证毕.

通常线性空间V中的元素称为向量.在线性空间的定义中数域F的选取是重要的，这在我们今后的研究中会逐步看到.

习题

4.1.1. 请你举出一些线性空间的例子.

4.1.2. 记

对矩阵的加法运算和数量乘法运算C⁰构成实数域R上的线性空间.