4.2  向量的线性相关性

4.2 向量的线性相关性

在线性空间中，向量的加法与数乘运算统称为向量的线性运算.本节研究向量在线性运算之下的关系，也就是通常所说的向量的线性相关性.

定义4.2 若α₁，α₂，…，α_s是数域F上的线性空间V中的一组向量，k₁，k₂，…，k_s是数域F中的一组数，则形如

的向量，称为向量α₁，α₂，…，α_s的线性组合.系数k₁，k₂，…，k_s称为这个线性组合的组合系数.

对向量β，若存在一组数l₁，l₂，…，l_s∈F，使得

则称向量β可由向量组α₁，α₂…，α_s线性表示.

例4.10 零向量可由任意向量组线性表示，所有组合系数都是0即可.

例4.11 若向量

则显然有γ₁=3α+2β，即γ₁是α，β的线性组合.但是，γ₂就不是α，β的线性组合.这是因为如若不然的话，则必然存在实数k，l，使得

γ₂=kα+lβ，

即

简单分析知道这个方程组无解，也就是说，γ₂不是α，β的线性组合.

定义4.3 若α₁，α₂，…，α_s是数域F上的线性空间V中的一组向量，如果存在一组不全为零的数k₁，k₂，…，k_s∈F使得

则称向量组α₁，α₂，…，α_s是线性相关的.否则，称为线性无关的，即如果有线性组合

则必可推出全部系数

k₁=k₂=…=k_s=0.

例4.12 向量组0，α₁，α₂，…，α_s是线性相关的，即含有零向量的向量组一定线性相关.

例4.13 对只由一个向量α组成的向量组来说，若α=0，则是线性相关的；否则，是线性无关的.

例4.14 在三维空间R³中，向量组

是线性无关的.任何一个三维向量α=（a₁，a₂，a₃）^T都可写成向量组e₁，e₂，e₃的线性组合

α=a₁e₁+a₂e₂+a₃e_3.

定理4.1 设α₁，α₂，…，α_s，s≥2，是数域F上的线性空间V中的一组向量，则α₁，α₂，…，α_s线性相关的充分必要条件是其中存在某一向量α_i，1≤i≤s，可由其余向量α₁，…，α_i-1，α_i+1，…，α_s线性表示.

证明：必要性.由于α₁，α₂，…，α_s是线性相关的，所以存在一组不全为零的数k₁，k₂，…，k_s∈F使得

不妨设系数k₁≠0，则有

必要性成立.

充分性.如果向量α_i可以由其余向量线性表示，即

α_i=l₁α₁+…+l_i-1α_i-1+l_i+1α_i+1+…+l_sα_s，

则显然有

l₁α₁+…+l_i-1α_i-1+（-α_i）+l_i+1α_i+1+…+l_sα_s=0，

即α₁，α₂，…，α_s线性相关.证毕.

定理4.2 在数域F上的线性空间V中，若向量组α₁，α₂，…，α_s是线性无关的，但是添加向量β之后得到的向量组β，α₁，α₂，…，α_s是线性相关的，则向量β可由向量组α₁，α₂，…，α_s线性表示，并且表示方法是唯一的.

证明：由于向量组β，α₁，α₂，…，α_s是线性相关的，所以存在一组不全为零的数k，k₁，k₂，…，k_s∈F使得

若k=0，那么就有

由向量组α₁，α₂，…，α_s线性无关，可以得到

k₁=k₂=…=k_s=0，

与数组k，k₁，k₂，…，k_s∈F不全为零矛盾，因此k≠0.从而有

下面证明表示方法的唯一性.若有两组数域F中的数m₁，m₂，…，m_s∈F和l₁，l₂，…，l_s∈F，使得

同时成立，那么必然有

由α₁，α₂，…，α_s是线性无关向量组，由定义4.3得到m_i-l_i=0，即m_i=l_i，i=1，2，…，s.因此表示方法是唯一的.证毕.

推论4.1 零向量由一个线性无关向量组线性表示的方法是唯一的.

定义4.4 设向量组

A：α₁，α₂，…，α_s

和

B：β₁，β₂，…，β_t

是线性空间V中的两组向量.如果向量组A中的任意一个向量皆可由向量组B线性表示，则称向量组A可由向量组B线性表示.如果向量组A和B可以互相线性表示，则称这两个向量组是等价向量组.

命题4.6 如果向量组A可由向量组B线性表示，向量组B可由向量组C线性表示，则向量组A可由向量组C线性表示.

命题4.7 如果向量组A和B等价，B和C等价，则向量组A和C等价.

证明留作习题.

定理4.3（Steinitz替换定理） 如果向量组

A：α₁，α₂，…，α_s

是线性无关向量组，并且可由向量组

B：β₁，β₂，…，β_t

线性表示，则有s≤t，并且在向量组B中存在s个向量，全部以A中的向量替换后，所得新向量组和B等价.

证明：对向量组A所含的向量个数s用归纳法.(https://www.daowen.com)

当s=1时，由条件知道

其中k_j（1≤j≤t）中至少有一个不是零.不失一般性地，不妨设k₁≠0，则易见向量组

α₁，β₂，…，β_t

与

β₁，β₂，…，β_t

可以互相线性表示，因此彼此等价.命题成立.

假设当向量组A含有s个向量时，命题成立.那么当向量组A为含有s+1个向量

α₁，α₂，…，α_s+1

的线性无关向量组时，其部分向量组α₁，α₂，…，α_s一定线性无关，且可以用向量组B线性表示.由归纳假设，知道s≤t，且B中有s个向量，以α₁，α₂，…，α_s替换后，所得新向量组和B等价.不妨设这s个被替换掉的向量是β₁，β₂，…，β_s，则向量组

C：α₁，…，α_s，β_s+1，…，β_t

和B等价.这时由条件知道α_s+1能用向量组B线性表示，因此也能用向量组C线性表示，即

由于向量组A线性无关，所以k_j（s+1≤j≤t）不能全都是零.不妨设k_s+1≠0，则此时易见向量组

α₁，…，α_s，α_s+1，β_s+2，…，β_t

与

α₁，…，α_s，β_s+1，β_s+2，…，β_t

等价.因此，也和向量组B等价，此时显然有s+1≤t.证毕.

推论4.2 如果向量组

α₁，α₂，…，α_s

可由向量组

β₁，β₂，…，β_t

线性表示，且s>t，则向量组α₁，α₂，…，α_s一定是线性相关的.

一个含有非零向量α的向量组A，一定可以从中选出部分向量组成线性无关向量组.例如，向量组{α}，这样的向量组称为向量组A的线性无关组.如果向量组α₁，α₂，…，α_r是A的线性无关组，并且把A中任何一个向量添入这个向量组中，都成为线性相关的向量组，则这个向量组称为A的极大线性无关向量组.

对于一个向量组来说，极大线性无关向量组总是存在的，除非它只含有零向量.

定理4.4 向量组A的线性无关组B是A的极大线性无关组的充分必要条件是A中任何向量都可以用向量组B线性表示.

证明留作习题.

例4.15 设向量组

它们之间显然的线性关系是2α+β-γ=0，并且任意两个都线性无关.因此，我们可以知道这三个向量中任意两个都可以构成一个极大线性无关组.

例4.15表明对于一个向量组来说，极大线性无关组不一定是唯一确定的.但是，关于极大线性无关组我们有如下定理.

定理4.5 向量组A的极大线性无关组所含向量的个数是唯一确定的.

证明：设向量组A有两个极大线性无关组A₁和A₂，分别含有k和l个向量.由极大线性无关组的定义有A和A₁等价，A和A₂也等价.由命题4.7可知，A₁和A₂等价.由替换定理可见k≤l且l≤k，所以k=l，即向量组A的极大线性无关组所含向量的个数是唯一确定的.证毕.

定理4.5中出现的这个唯一确定的数称为向量组A的秩，记作rankA.如果A中所有向量都是零向量，则规定其秩是零.

推论4.3 如果向量组A和B等价，则rankA=rankB.

推论4.4 如果向量组A可由B线性表示，则rankA≤rankB.

例4.16 若向量组

A：α₁，α₂，…，α_s

和

B：β₁，β₂，…，β_t

合并之后所得向量组记为A+B，则有

rank（A+B）≤rankA+rankB.

证明：设A和B的秩分别为r₁和r₂，不妨设它们的极大线性无关组分别为

α₁，α₂，…，α_r1；β₁，β₂，…，β_r2.

显见，A和B都可以由向量组

C：α₁，…，α_r1，β₁，…，β_r2

线性表示，所以A+B可由C线性表示，因此，

rank（A+B）≤rankC≤r₁+r₂=rankA+rankB.

证毕.

习题

4.2.1. 在习题4.1.2定义的线性空间C⁰中，记

证明：

（1）A，B是线性无关的；

（2）C⁰中任何矩阵都是A，B的线性组合；

（3）C⁰中任何矩阵写成A，B的线性组合的方式是唯一的.

4.2.2. 在线性空间M₂（R）中，证明：E₁₁，E₁₂，E₂₁，E₂₂是线性无关的，且M₂（R）中任何一个矩阵都可以唯一地写成这四个矩阵的线性组合的形式.

4.2.3. 证明命题4.6及命题4.7.

4.2.4. 证明推论4.2.

4.2.5. 在线性空间R³中，找出向量组

α₁=（1，2，1），α₂=（-1，1，0），α₃=（-2，-1，-1）

的一个极大线性无关向量组.

4.2.6. 在线性空间R³中，向量组α₁=（1，2，3），α₂=（4，5，6）.

（1）证明：向量组α₁，α₂是线性无关的；

（2）给出一个向量α₃，使得α₁，α₂，α₃仍旧线性无关.

4.2.7. 如果两个向量组有相同的秩，且其中一组可由另一组线性表示，则它们一定是等价的.

4.2.8. 若向量组α₁，α₂，…，α_s线性相关，且α₁≠0，则存在α_k使其可由α₁，α₂，…，α_k-1线性表示.