5.1 线性映射

定义5.1 若V₁，V₂分别是数域F上的n维与m维线性空间，σ是从V₁到V₂的一个映射，且满足条件：

（1）对任意的向量α，β∈V₁，都有σ（α+β）=σ（α）+σ（β）；

（2）对任意的向量α∈V₁以及数k∈F，都有σ（kα）=kσ（α），则称映射σ是一个从线性空间V₁到线性空间V₂上的线性映射.

线性映射是线性空间之间保持线性运算关系的一种映射.由定义可以知道线性映射有如下的简单性质.

命题5.1 若σ是一个从线性空间V₁到V₂的线性映射，则有

σ（0）=0，σ（-α）=-σ（α）.

证明：由线性映射的定义中的条件（1）有

σ（0）=σ（0+0）=σ（0）+σ（0），

因此，σ（0）=0.

又由于

0=σ（0）=σ[α+（-α）]=σ（α）+σ（-α），

因此，σ（-α）=-σ（α）.证毕.

命题5.2 线性映射保持线性运算关系不变.即对任意向量组

α₁，α₂，…，α_s∈V₁

以及任意一组组合系数k₁，k₂，…，k_s∈F，总有

σ（k₁α₁+k₂α₂+…+k_sα_s）=k₁σ（α₁）+k₂σ（α₂）+…+k_sσ（α_s）.

由定义5.1及数学归纳法就可以证明这个命题.

由命题5.2可见，若α₁，α₂，…，α_n是V₁的一组基，则只需确定它们在线性映射σ之下的像σ（α₁），σ（α₂），…，σ（α_n），即可完全确定线性映射σ.

设V₁，V₂分别是n，m维线性空间，取定V₁的一组基α₁，α₂，…，α_n和V₂的一组基β₁，β₂，…，β_m，若σ是从线性空间V₁到V₂的线性映射，由于σ（α_j）∈V₂，因此

即

这组关系可以用矩阵形式表示为

今后把向量

（σ（α₁），σ（α₂），…，σ（α_n））

简记作

σ（α₁，α₂，…，α_n）.

这样我们可以看到，线性映射σ即可由矩阵A=（a_ij）_m×n完全描述.

反之，对于任意一个m×n阶矩阵A，都可以定义一个由n维线性空间V₁到m维线性空间V₂的线性映射，定义方法如下：

σ（α₁，α₂，…，α_n）=（β₁，β₂，…，β_m）A，

即

或者

称矩阵A为线性映射σ的矩阵.

这样，在给定线性空间V₁和V₂的基之后，我们就可以在V₁到V₂的线性映射σ与全体m×n阶矩阵之间，建立一个1—1对应关系.通常，我们把从线性空间V₁到V₂的全部线性映射组成的集合记作L（V₁，V₂）.在进一步研究L（V₁，V₂）之前，我们先来看几个例子.

例5.1 在线性空间R³，R²中，记

ε₁=（1，0，0）^T，ε₂=（0，1，0）^T，ε₃=（0，0，1）^T，

η₁=（1，0）^T，η₂=（0，1）^T.

建立映射σ：R³→R²，σ（（x，y，z）^T）=（x，y）^T，容易验证σ是一个线性映射.分别取R³的基ε₁，ε₂，ε₃和R²的基η₁，η₂，则有

σ（ε₁）=η₁，σ（ε₂）=η₂，σ（ε₃）=0.

线性映射σ的矩阵是

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即

易见，σ是满射，因为对任意的（x，y）^T∈R²，有σ（（x，y，0）^T）=（x，y）^T；σ不是单射，因为尽管ε₃≠0，但是仍然有σ（ε₃）=σ（0）=0.并且很容易得到零向量的全部原像恰好为子空间{（0，0，z）^T|z∈R}.

例5.2 （续例5.1）建立映射τ：R²→R³，τ（（x，y）^T）=（y，x，0）^T.容易验证τ是线性映射.显然，

τ（η₁）=ε₂，τ（η₂）=ε₁，

线性映射τ的矩阵是

τ是单射，因为从（x，y）^T≠（x₁，y₁）^T，易得τ（（x，y）^T）≠τ（（x₁，y₁）^T）；但τ不是满射，因为，向量（0，0，1）^T就没有原像.

例5.3 建立映射σ：M₂（R）→M₂（R），，σ是线性映射.取M₂（R）的一组基E₁₁，E₁₂，E₂₁，E₂₂，则，其中i，j=1，2，因此，σ的矩阵是

σ不是单射，因为尽管E₁₂≠E₂₁，但是σ（E₁₂）=σ（E₂₁）；σ也不是满射，因为E₁₂就没有原像.

若V₁，V₂都是数域F上的线性空间，可以在L（V₁，V₂）上定义两种运算，称为加法运算和数乘运算，分别记作σ+τ和kσ，这里σ，τ∈L（V₁，V₂），k∈F，它们的定义如下：

（σ+τ）α=σ（α）+τ（α），

（kσ）α=kσ（α）.

其中α∈V₁，k∈F.容易验证，这里定义的σ+τ和kσ都是从V₁到V₂的线性映射，即σ+τ，kσ∈L（V₁，V₂）.

在选定V₁，V₂的基

α：α₁，α₂，…，α_n，β：β₁，β₂，…，β_m

之后，若线性映射σ，τ的矩阵分别为A，B，那么对向量显然有

（σ+τ）γ=σ（γ）+τ（γ）

=σ（α）（k₁，k₂，…，k_n）^T+τ（α）（k₁，k₂，…，k_n）^T

=（β）A（k₁，k₂，…，k_n）^T+（β）B（k₁，k₂，…，k_n）^T

=（β）（A+B）（k₁，k₂，…，k_n）^T，

（kσ）γ=kσ（γ）

=kσ（α）（k₁，k₂，…，k_n）^T

=k（β）A（k₁，k₂，…，k_n）^T

=（β）（kA）（k₁，k₂，…，k_n）^T.

其中，

（α）=（α₁，α₂，…，α_n），（β）=（β₁，β₂，…，β_m）.

因此，可以看到在选定线性空间的基之后，两个线性映射的和的矩阵等于各自的矩阵之和，与数的乘积的矩阵等于该数与其矩阵的乘积.这样就可以得到下面的定理：

定理5.1 设V₁，V₂都是数域F上的线性空间，维数分别为n，m，那么从V₁到V₂的全部线性映射组成的集合L（V₁，V₂）按照如上方式定义的加法运算和数乘运算构成数域F上的线性空间，并且有同构L（V₁，V₂）≅M_m×n（F）.

此外，还可以定义两个线性映射之间的乘法运算，即映射的复合运算.设V₁，V₂，V₃都是数域F上的有限维线性空间，线性映射σ₁∈L（V₁，V₂），σ₂∈L（V₂，V₃），那么按照映射复合的定义σ₂°σ₁就是一个从V₁到V₃的映射，容易验证，σ₂°σ₁是一个线性映射，通常记作σ₂σ₁.并且若σ₁，σ₂的矩阵分别为A，B，那么σ₂σ₁的矩阵恰好为BA.