5.2  线性映射的像与核

5.2 线性映射的像与核

设σ是n维线性空间V₁到m维线性空间V₂的线性映射，即σ∈L（V₁，V₂）.称集合

{σ（α）|α∈V₁}

为线性映射σ的像空间，简称为像，记作Imσ；称集合

{α|σ（α）=0}

为线性映射σ的核空间，简称为核，记作kerσ.

例5.4 （续例5.1）在这个例子中，有Imσ=R²，kerσ=span（ε₃）.

例5.5 （续例5.2）在这个例子中，有Imτ=span（ε₁，ε₂），kerτ={0}.

例5.6 （续例5.3）在这个例子中，有Imσ=S，kerσ=T.

命题5.3 若向量组α₁，α₂，…，α_s∈V₁是线性相关的，则向量组

σ（α₁），σ（α₂），…，σ（α_s）

也是线性相关的.

证明：若向量组α₁，α₂，…，α_s∈V₁是线性相关的，则存在一组不全为零的数k₁，k₂，…，k_s∈F，使得

k₁α₁+k₂α₂+…+k_sα_s=0.

这样就有

0=σ（k₁α₁+k₂α₂+…+k_sα_s）=k₁σ（α₁）+k₂σ（α₂）+…+k_sσ（α_s），

即向量组σ（α₁），σ（α₂），…，σ（α_s）是线性相关的.证毕.

命题5.4 线性映射的像与核都是线性空间.具体地说，若σ∈L（V₁，V₂），那么Imσ是V₂的线性子空间；kerσ是V₁的线性子空间.

证明：任取α′，β′∈Imσ，则一定存在向量α，β∈V₁，使得

σ（α）=α′，σ（β）=β′.

这样就有

α′+β′=σ（α）+σ（β）=σ（α+β）∈Imσ

以及

kα′=kσ（α）=σ（kα）∈Imσ.

因此Imσ是V₂的线性子空间.

再取α，β∈kerσ，则σ（α）=σ（β）=0，因此有

σ（α+β）=σ（α）+σ（β）=0，

σ（kα）=kσ（α）=0，

得到α+β，kα∈kerσ，因此kerσ是V₁的线性子空间.证毕.

定理5.2 设σ是从n维线性空间V₁到m维线性空间V₂的线性映射，那么必然有

dim Imσ+dim kerσ=n.

证明：设dim kerσ=s，选择kerσ的一组基

α₁，α₂，…，α_s，

并扩充为V₁的一组基

α₁，…，α_s，α_s+1…，α_n.

显然有

Imσ=span（σ（α_s+1），…，σ（α_n））.

下证向量组σ（α_s+1），σ（α_s+2），…，σ（α_n）一定是线性无关的.

若有一组组合系数k_s+1，…，k_n∈F使得

k_s+1σ（α_s+1）+k_s+2σ（α_s+2）+…+k_nσ（α_n）=0，

则有

σ（k_s+1α_s+1+k_s+2α_s+2+…+k_nα_n）=0.

所以

k_s+1α_s+1+k_s+2α_s+2+…+k_nα_n∈kerσ，(https://www.daowen.com)

因此存在一组系数k₁，…，k_s∈F使得

k_s+1α_s+1+k_s+2α_s+2+…+k_nα_n=k₁α₁+…+k_sα_s，

这时一定所有的系数k_i=0.因此，

σ（α_s+1），σ（α_s+2），…，σ（α_n）

一定是线性无关的，即这组向量一定是Imσ的一组基，于是

dim Imσ+dim kerσ=（n-s）+s=n.

证毕.

例5.7 设线性空间V₁和V₂的维数分别是n和m，且σ∈L（V₁，V₂）.若线性映射σ的像空间的维数dim Imσ=r，取像空间Imσ的一组基β₁，β₂，…，β_r，并将它扩充为V₂的一组基β₁，β₂，…，β_m.由于β_i∈Imσ，1≤i≤r，因此，一定存在α_i∈V₁，使得σ（α_i）=β_i.这里由命题5.3可以知道，向量组α₁，α₂，…，α_r一定是线性无关的.

选取核空间kerσ的一组基，由定理5.2可知，这组基可以记为α_r+1，α_r+2，…，α_n，则必然有向量组α₁，α₂，…，α_n是V₁的一组基.在选定V₁的基α₁，α₂，…，α_n和V₂的基β₁，β₂，…，β_m之后，线性映射σ的矩阵为

例5.8 线性映射在不同基下的矩阵的关系 设线性空间V₁和V₂的维数分别是n和m.线性映射σ∈L（V₁，V₂），在取定V₁的基ε_i，1≤i≤n，和V₂的基η_j，1≤j≤m，之后的矩阵是A；在取定V₁的基ε′_i，1≤i≤n，和V₂的基η′_j，1≤j≤m，之后的矩阵是B.

下面来寻找矩阵A与矩阵B之间的关系.

设在线性空间V₁中从基ε_i到基ε_i′的过渡矩阵是P，在线性空间V₂中从基η_j到基η′_j的过渡矩阵是Q，则有如下关系：

（ε₁′，ε₂′，…，ε_n′）=（ε₁，ε₂，…，ε_n）P，

（η₁′，η₂′，…，η_m′）=（η₁，η₂，…，η_m）Q，

以及σ（ε₁，ε₂，…，ε_n）=（η₁，η₂，…，η_m）A，

σ（ε′₁，ε′₂，…，ε′_n）=（η′₁，η′₂，…，η′_m）B，

从而得到

σ（ε₁，ε₂，…，ε_n）P=（η₁，η₂，…，η_m）QB.

比较有

A=QBP^-1.

由于相抵的矩阵有相同的秩，因此，A，B具有相同的秩，称这个与基的选取无关的量为该线性映射的秩.进一步地有，像空间的维数等于线性映射的矩阵的秩，即线性映射的秩.

定理5.3 像空间的维数等于线性映射的秩，即若A是线性映射σ的矩阵，那么

dim Imσ=rankA.

引理5.1 线性映射σ∈L（V₁，V₂）是满射，当且仅当Imσ=V₂.

证明：充分性，利用满射的定义即可.

必要性，显然Imσ⊆V₂.任取α′∈V₂，由于σ是满射，因此有α∈V₁，使得σ（α）=α′，即V₂⊆Imσ.证毕.

引理5.2 线性映射σ∈L（V₁，V₂）是单射，当且仅当kerσ={0}.

证明：必要性，设α∈kerσ，则σ（α）=0.又显然有σ（0）=0，而σ是单射，因此，α=0，即kerσ={0}.

充分性，设α₁，α₂∈V₁，且σ（α₁）=σ（α₂）.则有σ（α₁-α₂）=0，所以α₁-α₂∈kerσ，即得α₁=α₂，于是，σ是单射.证毕.

定理5.4 设V₁，V₂分别是n，m维线性空间，线性映射σ∈L（V₁，V₂）是双射的充分必要条件是n=m且kerσ={0}.

证明：必要性，σ是单射，因此，kerσ={0}，得dim kerσ=0；σ是满射，因此，Imσ=V₂，得到dimImσ=m.由定理5.2有n=m.

充分性，由kerσ={0}知σ是单射，而且，

n=dim kerσ+dim Imσ=m，

因此，dim Imσ=m，即得Imσ=V₂，即σ是满射.

证毕.

如果线性映射σ∈L（V₁，V₂）是双射，称该线性映射σ为可逆线性映射.此时，映射σ的矩阵是一个n阶可逆方阵，由其逆矩阵定义的线性映射称为线性映射σ的逆映射，记作σ^-1.

习题

5.2.1. 设V₀，V₁，…，V_s+1是有限维线性空间，映射σ_i∈L（V_i，V_i+1），0≤i≤s，且满足条件

kerσ_i+1=Imσ_i，0≤i≤s.

证明：若dimV₀=dimV_s+1=0，则

5.2.2. 设V₁，V₂，V₃都是有限维线性空间，σ∈L（V₁，V₂），τ∈L（V₂，V₃）.证明：

dimσ（V₁）+dimτ（V₂）≤dimτ（σ（V₁））+dimV₂.