5.4  不变子空间

5.4 不变子空间

设σ是线性空间V上的线性变换，通常我们更关心的是线性空间V中有哪些性质与结构在线性变换σ之下是不变的.这些不变的性质与结构对于把握σ是非常有用的.为此，首先引入不变子空间的概念.

定义5.3 设W是线性空间V的子空间，σ是V上的线性变换，如果

σ（W）⊆W，

则称W是线性变换σ的不变子空间.

例5.16 零空间和V都是V在任何线性变换下的不变子空间.

例5.17σ的核空间kerσ与像空间Imσ都是σ的不变子空间.

证明：设α∈kerσ，则σ（α）=0∈kerσ.因此，kerσ是σ的不变子空间.

设α∈Imσ，由于α∈V，因此有σ（α）∈Imσ.这表明，Imσ是σ的不变子空间.证毕.

例5.18 若σ，τ都是线性变换，且στ=τσ.证明：kerσ和Imσ都是τ的不变子空间.

证明：设α∈kerσ，则σ（α）=0.因此

στ（α）=τσ（α）=0，

于是，τ（α）∈kerσ.这表明，kerσ是τ的不变子空间.

设α∈Imσ，则有α′∈V，使得σ（α′）=α.于是

τ（α）=τσ（α′）=στ（α′）∈Imσ.

因此，Imσ是τ的不变子空间.证毕.

若σ是V上的线性变换，且W是σ的不变子空间，作一个W上的映射

τ：W→W，τ（α）=σ（α），

显然τ的定义是合理的，且容易验证τ是一个W上的线性变换，称这个线性变换为σ在W上的限制，记作τ=σ_W.(https://www.daowen.com)

设W的维数是r，选定W的一组基α₁，α₂，…，α_r，并把它扩充成V的基α₁，α₂，…，α_n.由于显然有σ（α_i）∈W，1≤i≤r，易见变换σ的矩阵有形式

其中A₁，A₂分别是r，n-r阶方阵，且τ=σ_W在W上的矩阵是A₁.

如果W₁，W₂都是σ的不变子空间，且W₁⊕W₂=V，则σ的矩阵具有准对角的形式

其中A₁，A₂分别是σ|_W1，σ|_W2，在W₁，W₂上的矩阵.

更一般地有：

定理5.6 若W₁，W₂，…，W_s都是σ的不变子空间，且

W₁⊕W₂⊕…⊕W_s=V，

则线性变换σ的矩阵为准对角阵

A=diag（A₁，A₂，…，A_s），

其中A_i是σ_Wi在W_i上的方阵（1≤i≤s）.

习题

5.4.1. 在线性空间R_n[x]中，微分算子D是一个线性变换

D（f（x））=f′（x），

求出微分算子D的全部不变子空间.

5.4.2. 设σ是n维线性空间V上的线性变换，则

span（α，σ（α），…，σ^n-1（α））

是σ的不变子空间.