6.1  内积

6.1 内积

定义6.1 在实数域R上的线性空间V中，定义一个二元函数V×V→R，称为向量α，β∈V的内积，记作<α，β>，如果下面几个条件同时成立：

（1）<α，β>=<β，α>，对任意向量α，β∈V成立；

（2）<kα，β>=k<α，β>，对任意向量α，β∈V以及任意实数k∈R成立；

（3）<α+β，γ>=<α，γ>+<β，γ>，对任意向量α，β，γ∈V成立；

（4）<α，α>≥0，对任意向量α∈V成立，并且等号成立的充要条件是α=0.定义了内积的线性空间称为欧氏空间.

例6.1 在线性空间C[a，b]上定义<·，·>为

容易验证，<·，·>是内积.

例6.2 在n维线性空间R_n中，若向量α，β的坐标分别是

x=（x₁，x₂，…，x_n）^T，y=（y₁，y₂，…，y_n）^T，

定义

<α，β>=x^Ty=x₁y₁+x₂y₂+…+x_ny_n，易于验证<·，·>定义了一个内积，这实际上就是R³中内积概念的推广.

由定义易见，对任意向量α，β，γ∈V以及任意实数k∈R有

（2′）<α，kβ>=k<α，β>；

（3′）<α，β+γ>=<α，β>+<α，γ>.

由定义6.1中的条件（4）有<α，α>≥0，定义称为向量α的长度，长度为1的向量称为单位向量.任一非零向量都可以单位化，对非零向量α作向量

则‖α⁰‖=1.向量α⁰称为向量α的单位化向量.

对向量α，β，定义‖α-β‖为向量α，β之间的距离.

命题6.1 （Cauchy-Schwarza不等式）对任意向量α，β∈V，有

<α，β>|≤‖α‖‖β‖.

证明：当β=0时显然.现设β≠0，则有

0≤<α+tβ，α+tβ>=<α，α>+2t<α，β>+t²<β，β>，

把上式看作关于t的一个二次三项式，其判别式应小于等于零，即得

<α，β>²≤<α，α><β，β>.

开平方就得到需要的Cauchy-Schwarz不等式.证毕.

例6.3 Cauchy-Schwarz不等式是一个十分重要不等式，利用这个不等式有如下结果：

（1）在例6.1中，取α，β分别为函数f（x），g（x），则有

（∫_a^bf（x）g（x）dx）²≤∫_a^bf²（x）dx∫_a^bg²（x）dx. （6.1）

（2）在例6.2中，取

α=（a₁，a₂，…，a_n）^T，β=（b₁，b₂，…，b_n）^T，

则有

（a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n）²≤（a²₁+a²₂+…+a²_n）（b²₁+b²₂+…+b²_n）. （6.2）

这两个不等式都称为Cauchy不等式.

由命题Cauchy-Schwarz不等式，易见若向量α，β≠0，则

定义

为向量α与向量β的夹角，记作∠（α，β）.

命题6.2 （三角形不等式）对任意向量α，β，总有不等式(https://www.daowen.com)

‖α+β‖≤‖α‖+‖β‖.

证明：两边平方化简后，即可归结为Cauchy-Schwarz不等式.

例6.4 三角形不等式是欧氏几何中重要命题“三角形两边之和大于第三边”的一般形式，其重要性自不必言.

（1）同例6.3中的（1），利用三角形不等式有

（2）同例6.3中的（2），利用三角形不等式有

定义6.2 如果向量α，β∈V，且<α，β>=0，则称向量α，β正交或垂直，记作α⊥β.

例6.5 在欧氏空间R³中，向量α=（1，-1，1），β=（1，2，1），由于

<α，β>=α·β=0，

因此α，β正交，即α⊥β.

例6.6 在闭区间[0，1]内考虑线性空间R[x]，定义内积为

<f（x），g（x）>=∫₀¹f（x）g（x）dx.

计算可得

<1，kx^k-1-1>=∫₀¹（kx^k-1-1）dx=0，k≥2.

因此，1和kx^k-1-1正交.

在n维欧氏空间V中，选定一组基ε₁，ε₂，…，ε_n，任取V中两个向量α，β，

计算它们的内积有

其中n阶方阵

A=（<ε_i，ε_j>），i，j=1，2，…，n.

由内积的性质知

<ε_i，ε_j>=<ε_j，ε_i>，

因此方阵A是对称矩阵，称为基ε₁，ε₂，…，ε_n的度量矩阵或者Gram矩阵.

如果选定V中的另一组基ε₁′，ε₂′，…，ε_n′，其度量矩阵为B.如果由基ε₁′，ε₂′，…，ε_n′到基ε₁，ε₂，…，ε_n的过渡矩阵为P，则有A=P^TBP.

定义6.3 设A，B是n阶对称方阵，若存在可逆的矩阵P，使得A=P^TBP，则称矩阵A和B是合同的.

命题6.3 矩阵的合同关系是等价关系，即

（1）反身性 矩阵A和它自身是合同的；

（2）对称性 若矩阵A和B是合同的，则B和A也是合同的；

（3）传递性 若矩阵A和B是合同的，B和C是合同的，则A和C合同.

习题

6.1.1. 证明Cauchy-Schwarz不等式与三角形不等式的等价性.

6.1.2.（勾股定理）在欧氏空间中，向量α，β垂直的充分必要条件是

‖α‖²+‖β‖²=‖α+β‖².

6.1.3. 写出并证明一般欧氏空间中的余弦定理.

6.1.4. 证明：在欧氏空间中，对任意向量α，β，有

‖α+β‖²+‖α-β‖²=2‖α‖²+2‖β‖²，

并指出这个等式的几何意义.

6.1.5. 在欧氏空间中，与任何向量的内积均为零的向量只能是零向量.

6.1.6. 证明命题6.3.