6.2  标准正交基

6.2 标准正交基

如果欧氏空间V中的一组非零向量α₁，α₂，…，α_s两两正交，则称为正交向量组.

命题6.4 正交向量组一定是线性无关的.

证明：若α₁，α₂，…，α_s是正交向量组，它们的线性组合

β=k₁α₁+k₂α₂+…+k_sα_s=0.

将向量β与每个向量α_i作内积，则有

0=<β，α_i>=k_i<α_i，α_i>，

又α_i≠0，则k_i=0，即α₁，α₂，…，α_s线性无关.证毕.

命题6.4说明在n维欧氏空间中不可能找到n+1个两两正交的非零向量.

定义6.4 在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组是一组基，称为正交基.由单位向量组成的正交基，称为标准正交基.

在n维欧氏空间V中，任选一组基α₁，α₂，…，α_n，可以从它出发来构造一个标准正交基.

首先，令β₁=α₁，β₂=α₂+kα₁，使得<β₁，β₂>=0，可得

因此向量

满足条件β₁，β₂正交，并且

span（α₁，α₂）=span（β₁，β₂）.

令β₃=α₃+kβ₁+lβ₂，且β₁，β₂，β₃两两正交，则有

<β₁，β₃>=0，<β₂，β₃>=0，

从中解得

此时，β₁，β₂，β₃两两正交，且

span（α₁，α₂，α₃）=span（β₁，β₂，β₃）.

一般地，若β₁，β₂，…，β_i已两两正交，则向量

与它们正交，并且满足条件

span（α₁，α₂，…，α_i+1）=span（β₁，β₂，…，β_i+1）.

如此继续，可得正交向量组β₁，β₂，…，β_n，且

span（α₁，α₂，…，α_n）=span（β₁，β₂，…，β_n）.

上面由基α₁，α₂，…，α_n得到两两正交的基β₁，β₂，…，β_n的方法称为Gram-Schmidt正交化方法.将得到的向量组β单位化，这样就证明了下面定理：

定理6.1 在n维欧氏空间V中，从任意一组基α₁，α₂，…，α_n出发，一定可以构造一组标准正交基β⁰₁，β⁰₂，…，β⁰_n，并且这组基还满足：

span（β⁰₁，β⁰₂，…，β⁰_i）=span（α₁，α₂，…，α_i），i=1，2，…，n.

推论6.1n维欧氏空间V恒存在标准正交基.

推论6.2n维欧氏空间V的任意一个正交向量组恒可扩充为一组V的正交基.特别地，任意一个单位向量都可以扩充成一组标准正交基.

例6.7 在三维空间R³中，设

α₁=（1，1，0），α₂=（1，0，-1），α₃=（0，-1，1）.

首先，令β₁=α₁=（1，1，0），β₂=α₂+kβ₁，且<β₁，β₂>=0，则有

0=<β₁，β₂>=<α₁，α₂+kβ₁>=<α₁，α₂>+k<α₁，α₁>=1+2k，

从中解得，则有.

再令β₃=α₃+kβ₁+lβ₂，且

<β₃，β₁>=<β₃，β₂>=0，

则有

解得，，则有.

最后单位化，得到一组标准正交基：

例6.8 在闭区间[0，1]上考虑R上的线性空间R₂[x]，内积定义为

<f（x），g（x）>=∫₀¹f（x）g（x）dx.

取一组基α₁=1，α₂=x，α₃=x².

令β₁=α₁=1，β₂=α₂+kβ₁，且<β₁，β₂>=0，则有

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解得，则有.

再令β₃=α₃+kβ₁+lβ₂，且

<β₃，β₁>=<β₃，β₂>=0，

则有

解得，l=-1，则有.

最后单位化，得

例6.9 （正交化过程的几何意义）在二维欧氏空间R²上，取两个向量

α₁=（4，2），α₂=（1，3），

利用Gram-Schmidt正交化方法可得

β₁=（4，2），β₂=α₂+kβ₁=（-1，2），

其中.这里向量-kβ₁是向量α₂在向量β₁上的投影.因此，正交化方法的实质是求出向量在已知正交向量组及其垂直方向上的分解.

若ε₁，ε₂，…，ε_n是一组标准正交基，这时度量矩阵为单位矩阵

A=（<ε_i，ε_j>）=E.

设向量α的坐标是x，向量β的坐标是y，则易见

<α，β>=xy^T=x₁y₁+x₂y₂+…+x_ny_n.

这个结果表明，在欧氏空间中内积是唯一确定的.

另选一组标准正交基η₁，η₂，…，η_n，由η₁，η₂，…，η_n到ε₁，ε₂，…，ε_n的过渡矩阵是O，由于在不同基下的度量矩阵是合同的，则有O^TO=E.因此，O^TO=OO^T=E.

定义6.5n阶方阵O，如果满足条件

O^TO=OO^T=E，

则O称为正交矩阵.

从正交矩阵的定义可以马上得到：

定理6.2 若矩阵A是n阶方阵，那么下面条件等价：

（1）A是正交矩阵；

（2）A的行向量组构成标准正交基；

（3）A的列向量组构成标准正交基.

习题

6.2.1. 在线性空间R⁴中，计算向量α，β的夹角.

（1）α=（1，2，2，0）^T，β=（-2，0，1，2）^T；

（2）α=（0，-3，1，0）^T，β=（1，-1，2，-2）^T.

6.2.2. 利用Gram-Schmidt正交化方法把下列向量组正交化.

（1）α₁=（1，1，1），α₂=（1，2，3），α₃=（1，4，9）；

（2）α₁=（1，0，-1，1），α₂=（1，-1，0，1），α₃=（-1，1，1，0）.

6.2.3. 设ε₁，ε₂，…，ε_n是V的标准正交基，P为正交矩阵，

（η₁，η₂，…，η_n）=（ε₁，ε₂，…，ε_n）P，

问η₁，η₂，…，η_n是否为标准正交基？为什么？

6.2.4. 设ε₁，ε₂，ε₃是R³中的一组标准正交基，证明：

也是一组标准正交基.

6.2.5. 构造R³的一组标准正交基，使它包含向量

6.2.6. 证明：

（1）正交矩阵的实特征值只能是±1；

（2）正交矩阵的特征值的绝对值一定是1.

6.2.7. 设A^T=A，B^T=-B且A-B可逆，AB=BA，证明：

（A+B）（A-B）^-1

是正交矩阵.

6.2.8. 设A是n阶方阵，且A的特征值不等于0或-1.证明：A及A+E都可逆，且A是正交矩阵的充分必要条件是

（A+E）-1+（A^T+E）-1=E.