6.4 正交变换
定义6.7 设V是n维欧氏空间，如果线性变换σ：V→V在一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵，则称该变换为正交变换.
若ε1，ε2，…，εn是欧氏空间V的一组标准正交基，σ是一个正交变换，其矩阵为正交矩阵O=（aij）n×n，则有
其中，δij是Kronecker符号，1≤i，j≤n.这表明，向量组ε1，ε2，…，εn仍然是一组标准正交基.因此有：
命题6.5 正交变换把标准正交基仍旧变为标准正交基.
同样的计算可以得到下面的定理.
定理6.4 正交变换保持向量之间的内积不变.
证明：设ε1，ε2，…，εn是欧氏空间V的一组标准正交基，向量α，β∈V，且
那么就有
证毕.
推论6.3 正交变换保持向量的长度不变.
推论6.4 正交变换保持向量之间的夹角不变.
定理6.5 设σ是n维欧氏空间中的线性变换，则下述命题等价：
（1）σ是正交变换；
（2）σ是保持向量长度不变的；
（3）σ是保持向量间的内积不变的；
（4）σ把标准正交基变为标准正交基.(https://www.daowen.com)
证明留作习题.
例6.11 在平面R2上，考虑一组标准正交基
ε1=（1，0），ε2=（0，1）.
并记
若线性变换σ使得
σ（ε1）=ε1′，σ（ε2）=ε2′，
则容易得到σ的矩阵是
易于验证，OTO=E.因此，σ是一个正交变换.从几何上看，变换σ相当于将坐标轴反时针旋转了
.
例6.12 （续例6.11）考虑单位圆x2+y2=1，在作正交变换σ之后，曲线的方程变成x′2+y′2=1.
习题
6.4.1. 证明：
（1）两个正交矩阵的乘积仍然是正交矩阵；
（2）两个正交变换的复合仍然是正交变换.
6.4.2. 证明定理6.5.
6.4.3. 正交变换一定是可逆变换，且其逆变换仍然是正交变换.
6.4.4. 设σ是n维欧氏空间中保持内积不变的变换，证明：σ一定是线性变换，因而是正交变换.保持向量长度的变换是否一定是线性变换？
6.4.5. 设α，β是n维欧氏空间V中的向量，且‖α‖=‖β‖.证明：存在正交变换σ，使得σ（α）=β.
6.4.6. 求出所有的二阶正交矩阵，并指出它们的几何意义.
