6.5 对称变换
设V是n维欧氏空间，如果线性变换σ：V→V在一组标准正交基下的矩阵是对称矩阵，则称该线性变换为对称变换.
定理6.6 欧氏空间中的线性变换σ是对称变换的充分必要条件是对任意的向量α，β，有
<σ（α），β>=<α，σ（β）>.
证明：必要性，若σ是对称变换，在标准正交基ε1，ε2，…，εn下的矩阵是A，AT=A.设α，β在这组标准正交基之下的坐标是x，y，则有
<σ（α），β>=（Ax）Ty=xT（Ay）=<α，σ（β）>.
充分性，由于
<σ（α），β>=（Ax）Ty=xTATy
及
<α，σ（β）>=xTAy，
因此有xT（AT-A）y=0对任意的x，y都成立，则AT-A=0.证毕.
定理6.7 对称变换的特征值均为实数.
证明：只要证明对称矩阵A的特征值都是实数即可.
设λ是对称矩阵A的特征值，非零向量x是属于λ的特征向量，则
Ax=λx.
取共轭复数有
下面用两种方法计算
，得到
由于x≠0，因此
，比较两式得
，即λ是实数.证毕.
定理6.8 属于对称变换的不同特征值的特征向量一定是正交的.
证明：设λ1≠λ2是对称变换σ的两个不同的特征值，α，β分别是属于它们的特征向量，即
σ（α）=λ1α，σ（β）=λ2β，λ1=λ2，
那么就有
<σ（α），β>=<λ1α，β>=λ1<α，β>，
<σ（α），β>=<α，σ（β）>=<α，λ2β>=λ2<α，β>，(https://www.daowen.com)
比较得<α，β>=0.证毕.
定理6.9 若σ是对称变换，则一定存在一组标准正交基，使得σ在这组基下的矩阵是对角形矩阵.
证明：对欧氏空间V的维数n用归纳法.
当n=1时，显然成立.现在假设对维数不超过n-1的欧氏空间命题都成立.
对n维欧氏空间.设λ1是其上对称变换σ的一个特征值，ε1，ε2，…，εs是特征子空间Vλ1的一组标准正交基，则
σ（εi）=λ1εi，1≤i≤s.
将这组Vλ1的标准正交基扩充为V的标准正交基ε1，ε2，…，εn.并记
W=span（εs+1，…，εn），
记σ在W上的限制为τ=σ|W，则W的维数是n-s<n，且
<τ（εi），εj>=<σ（εi），εj>=<εi，σ（εj）>=<εi，τ（εj）>，
即τ是对称变换.由归纳假设，在子空间W中一定存在一组标准正交基ε′s+1，ε′s+2，…，ε′n，满足条件τ（ε′i）=λiε′i，即σ（ε′i）=λiε′i，s+1≤i≤n.
取ε′i=εi，1≤i≤s，则向量组ε′1，ε′2，…，ε′n是V的一组标准正交基，且
σ（ε′i）=λiε′i，1≤i≤n.
证毕.
定理6.7～定理6.9用矩阵的语言叙述就是：
定理6.10 实对称矩阵的特征值都是实数，且属于不同特征值的特征向量一定是正交的.
定理6.11 实对称矩阵一定正交相似（或合同）于一个对角形矩阵.
习题
6.5.1. 设A是秩为r的n阶对称幂等矩阵，证明：存在正交矩阵O，使得
6.5.2. 设A是n阶对称对合矩阵，证明：存在正交矩阵O，使得
6.5.3. 设A是n阶对称矩阵，利用矩阵的方法证明：
（1）A的特征值都是实数；
（2）A的属于不同特征值的特征向量一定是正交的；
（3）A正交合同（相似）于对角阵.
