9.3  n阶行列式的定义

9.3 n 阶行列式的定义

定义9.3 设n阶方阵

定义矩阵A的行列式为

其中的和号∑是对所有的n级排列j₁j₂…j_n的总共n！项求和.

A是n阶矩阵时，A的行列式也称为n阶行列式.上述定义表明，n阶行列式等于所有不同行不同列的n个元素乘积的代数和，其符号在行下标为自然顺序排列的情况下，由列下标排列的逆序数来确定.

例9.5 计算四阶方阵

的行列式|A|.

解：这是一个四阶行列式，其值应为24项乘积的代数和.但由于A有很多的元素为零，容易看到乘积不为零的项只有一项a₁₄a₂₃a₃₂a₄₁.又由于τ（4321）=6，所以该项的符号为正，因此|A|=24.(https://www.daowen.com)

对于n阶行列式中的任意一项，对换上述乘积中两元素的位置，不改变其积.但可以将列下标排为自然顺序，即有

当列下标排列j₁j₂…j_n经若干次对换，变为自然顺序排列时，通过同样的对换，行下标由自然顺序排列变为i₁i₂…i_n，从而由前面的推论9.1知.由此可得：

定理9.2n阶方阵A的行列式可定义为

其中的和号∑是对所有的n级排列i₁i₂…i_n求和.

习题

9.3.1. 利用行列式的定义计算下列行列式的值.

9.3.2. 利用行列式的定义证明：

9.3.3. 若i₁i₂…i_n与j₁j₂…j_n均为n-排列，证明：在n阶行列式的定义中，项的符号是.