9.4  行列式的性质

9.4 行列式的性质

本节的目的是研究行列式的基本性质，为计算行列式的值提供有力的工具.为书写简便起见，我们借助矩阵的一些记号.设n阶矩阵A的列向量组为α₁，α₂，…，αn，这时也可以记

|A|=|α₁，α₂，…，α_n|.

设A为n阶方阵，通常把行列式|A^T|称为行列式|A|的转置行列式，并且我们有下面定理.

定理9.3 行列式与它的转置行列式相等，即

证明：引入一组新的符号b.，把a_ij记作b_ji.那么式（9.4）的右边就可以记作

利用行列式的定义分别计算式（9.4）的两端得到

由定理9.2可以知道，左边=右边.证毕.

定理9.3表明行列式的行与列具有对称性，即是说，对于列成立的性质，关于行也同样成立.为叙述简单起见，以下我们只对列证明行列式的性质.

定理9.4 若两个n阶行列式有n-1个对应列（或者行）完全相同，那么它们的和等于那个不同列（或者行）上的对应元素相加，其他列（或者行）都不变的行列式的值，即

或者记为

|α₁，…，α₂，…，α_n|+|α₁，…，α′_i，…，α_n|=|α₁，…，α_i+α′_i，…，α_n|.

证明：利用行列式的定义，可以得到式（9.5）的

证毕.

定理9.5 若行列式的某一列（或者行）全部元素有一个公共的因子，那么这个因子可以提到行列式外面，即

或者记为

|α₁，…，kα_i，…，α_n|=k|α₁，…，α_i，…，α_n|.

证明：利用行列式的定义，可以得到式（9.6）的

证毕.

定理9.4与定理9.5表明行列式对于列（或者行）具有线性性质.

推论9.2A是n阶方阵，k为常数，则|kA|=kⁿ|A|.

证明：只需要注意到行列式|A|的每一列都可以提出一个因子k即可.证毕.

推论9.3 若行列式的某一列（或者行）的全部元素都是零，那么这个行列式必为零.

证明：只需要提出因子零即可.证毕.

定理9.6 交换行列式的任意两列（或者行）行列式变号，即

或者记为(https://www.daowen.com)

|…，α_i，…，α_j，…|=-|…，α_j，…，α_i，…|.

证明：设

A=（a_ij）=（α₁，…，α_k，…，α_l，…，α_n），

B=（b_ij）=（α₁，…，α_l，…，α_k，…，α_n），

即当j≠k，l时，b_ij=a_ij，b_il=a_ik，b_ik=a_il.由行列式的定义及定理9.2有

证毕.

推论9.4 若行列式中有两列（或者行）完全相同，那么这个行列式的值为零.

证明：交换这相同的两列行列式显然没有改变，但是，定理9.6又断言它应该变号，故此这个值只能是零.证毕.

推论9.5 若行列式中有两列（或者行）成比例，那么这个行列式的值为零.

证明：将比例系数提出行列式，再利用推论9.4.证毕.

定理9.7 把行列式的某一列（或者行）的全部元素乘以同一个数加到另外一列（或者行）的对应元素上去，行列式的值不变，即

或者写成

|…，α_i，…，α_j+kα_i，…|=|…，α_i，…，α_j，…|.

证明：由定理9.4与推论9.5易得

证毕.

推论9.6 若方阵A的列向量组（或者行向量组）线性相关，则|A|=0.

推论9.7 若方阵A的列向量组（或者行向量组）线性无关，则|A|≠0.

证明：由于A的列向量组线性无关，A为可逆矩阵，从而A与单位矩阵相抵.注意：互换矩阵的两列（行），其行列式仅改变符号；某一列（行）乘非零常数倍，等于行列式乘相应的倍数；把某一列（行）的若干倍加到另外一列（行）上，行列式的值不变.由于|E|=1≠0，所以|A|≠0.证毕.

把上面的推论结合在一起可以得到矩阵可逆的又一个充分必要条件.

定理9.8 方阵A可逆的充分必要条件是|A|≠0.

习题

9.4.1. 不用计算，证明行列式一定是3的整数倍.

9.4.2. 利用行列式的性质计算下列行列式的值.

9.4.3. 证明：.

9.4.4. 证明恒等式：.

9.4.5. 证明恒等式：.

9.4.6. 若s=a₁+a₂+…+a_n，证明恒等式

9.4.7. 证明：奇数阶反对称方阵的行列式一定是零.