9.6 行列式的计算
本节试图通过一系列的问题介绍行列式的各种基本计算方法和技巧.
例9.10 计算四阶行列式
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解：
例9.11 计算四阶行列式
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解：在四阶行列式
中，把所有的行都加到第一行，可以看到能够提出线性因子x+y+z；把第二行加到第一行，再减去第三、四行，可以看到能够提出线性因子x-y-z；把第三行加到第一行，再减去第二、四行，可以看到能够提出线性因子x-y+z；把第四行加到第一行，再减去第二、三行，可以看到能够提出线性因子x+y-z.这样可以看到行列式应该是
（x+y+z）（x-y-z）（x-y+z）（x+y-z） （9.12）
的某一倍式.再注意到行列式中x的最高次数是4，因此，该行列式应该是式（9.12）的常数倍.而x4项的系数是1，因此，行列式的值是
（x+y+z）（x-y-z）（x-y+z）（x+y-z）
=x4+y4+z4-2x2y2-2y2z2-2y2z2.
例9.12 计算n阶行列式
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解法一：观察可以看出每列元素的组成相同，只是它们在行列式中的排列位置不同，这表明每列元素都有相同的和，因此可以将第二行到最后一行都加到第一行上，然后提出一个公因子.
其中，第三个等号是把第一行乘以-a分别加到以后各行上得到的.
解法二：把第一行乘以-1加到以后各行上，再把结果中的第二到最后一列都加到第一列上，有
解法三：建立递推关系计算行列式.记n阶行列式为Dn，则有
第三个等号是利用定理9.4得到的.由此即得递推关系：
D1=x，Dn-（x-a）Dn-1=a（x-a）n-1，n>1.
从而解得
Dn=[x+（n-1）a]（x-a）n-1.
例9.13 计算n阶行列式
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解：记这种形式的n阶行列式为Dn.把第一列中的x分拆成x=y+（x-y），第一列中的z分拆成z=z+0，利用行列式的性质及展开定理有
=y（x-z）n-1+（x-y）Dn-1.
这样，我们可以建立关于行列式Dn之间的递推关系式：
Dn=y（x-z）n-1+（x-y）Dn-1， （9.13）
显然y，z具有对称性，因此我们还有另一个关系式：
Dn=z（x-y）n-1+（x-z）Dn-1. （9.14）
从式（9.13）、式（9.14）消去Dn-1得到
（y-z）Dn=y（x-z）n-z（x-y）n.
在z≠y时，可以得到
在式（9.15）中令z趋向于y取极限，可以计算出当z=y时，
Dn=[x+（n-1）y]（x-y）n-1.
例9.14 计算n阶Vandemonde行列式
解：从第n-1列开始把前一列乘以-x1加到后面一列上，这样可以把第一行中的x1全部消去.
再从第二到最后一列中分别提出线性因子，得
这样可以建立一个递推关系：
Vn（x1，x2，…，xn）=（x2-x1）（x3-x1）…（xn-x1）Vn-1（x2，x3，…，xn）.
解此递推关系可以得到
(https://www.daowen.com)
例9.15 计算n阶行列式
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解：将这个行列式的每一列都拆为两列，进而把行列式分成2n个行列式之和.
当n>2时，它们中的每一个都有两列成比例.因此，行列式等于零.
当n=1时，行列式等于a1+b1.
当n=2时，行列式等于（a1-a2）（b2-b1）.
例9.16 设四阶方阵
，计算行列式|A|.
解：由于
所以
|A|2=|A||AT|=|AAT|=（a2+b2+c2+d2）4.
再因为|A|中a4的系数为正，所以，
|A|=（a2+b2+c2+d2）2.
例9.17 计算n阶循环行列式
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解：这里我们记
，以ζk=ζk，k=1，2，…，n，表示1的全部n次单位根，即满足条件zn=1的全部复数z.引入多项式
f（x）=a1+a2x+a3x2+…+anxn-1，
以及n阶Vondermonde行列式
由例9.14可以看到D≠0.
利用行列式的乘法定理，并注意到关系ζkl+n=ζlk，有
因此可以得到
习题
9.6.1. 计算下列行列式.
9.6.2. 计算下列n阶行列式的值.
9.6.3. 计算下列n阶行列式.
9.6.4. 计算下列行列式的值.
9.6.5. 计算下列行列式的值.
9.6.6. 计算下列循环行列式.
9.6.7. 计算2n阶行列式.
9.6.8.
（1）证明：
其中，Aij是aij的代数余子式，1≤i，j≤n.
（2）计算行列式
9.6.9. 设A，B都是正交矩阵，且A=1，B=-1.证明：A+B是奇异的.
9.6.10. （Minkowski）设n阶实方阵A=（aij）满足条件aii>0，aij<0，1≤i，j≤n，i≠j，并且
证明：A的行列式大于零.
9.6.11. （Lovy-Desplanques）如果n阶实方阵A=（aij）满足条件
则称A为对角占优阵.证明：对角占优阵的行列式一定不等于零.
