9.7  行列式理论的一些应用

9.7 行列式理论的一些应用

1.Cramer法则

这里将要讨论的是线性方程组的公式解.首先设n元一次线性方程组

通常把这个方程组的系数矩阵的行列式记作D，称为系数行列式，即

并且记

其中1≤j≤n.这里D_xj是把系数行列式中的第j列的全部元素用常数项依次换掉之后得到的行列式.我们有如下定理.

定理9.12 （Cramer法则）n元一次线性方程组（9.16）有唯一解的充分必要条件是其系数行列式D≠0；并且在此时，线性方程组（9.16）的解为

证明：只需验证后一半结论即可.利用行列式展开定理，有

这里1≤i≤n.证毕.

推论9.9 齐次线性方程组

有非零解的充分必要条件是D=0.

2.伴随矩阵

设A=（a_ij）是n阶方阵，称由这个方阵的全部代数余子式构成的n阶方阵

为方阵A的伴随矩阵，记作A^∗.由行列式展开定理，容易证明：

定理9.13 对任意的n阶方阵A都有AA^∗=A^∗A=|A|E.

这样，我们可以得到一个计算逆矩阵的公式.

定理9.14 当方阵A可逆时，.

3.矩阵的秩

若A是m×n阶矩阵，任意选择k行以及k列，交叉位置的元素依其原有的相对位置组成的行列式称为A的一个k阶子式.

定理9.15 若A是m×n阶矩阵，则rankA=r的充分必要条件是A有一个r阶子式不等于零，而所有r+1阶子式全等于零.

证明：充分性，有一个r阶子式不等于零，说明A有r个线性无关的列向量，即rankA≥r；所有r+1阶子式全等于零，说明A的任意r+1个列向量都是线性相关的，即rankA≤r.于是有rankA=r.

必要性，先选择r个线性无关的列，再从中选择r个线性无关的行，则由这些元素组成的子式就不等于零.而r+1个列向量一定线性相关，任意选r+1个行，则得到的子式一定是零.证毕.

这个定理使得我们可以有另外一种定义秩的方法.

定义9.4 矩阵中不为零的子式的最高阶数称为该矩阵的秩.

至此，我们有三种定义矩阵的秩的方法，它们是：

（1）相抵标准形中1的个数，或者非零行的行数，或者非零列的列数；

（2）行秩或者列秩；

（3）非零子式的最高阶数.

4.正定矩阵

引理9.3 正定矩阵的行列式大于零.

证明：若A是正定矩阵，则存在可逆矩阵P，使得A=P^TP，所以|A|=|P^TP|=|P|²>0.证毕.

设A是对称方阵，选择下标列1≤i₁<i₂<…<i_k≤n，则子式

称为A的主子式，而子式

称为A的顺序主子式.

定理9.16 （Hurwitz）设A是对称方阵，则A正定的充分必要条件是A的顺序主子式全大于零.

证明：必要性.设A是正定矩阵，其二次型为

考虑主子式

其矩阵为

A₁的二次型是

若（x₁，x₂，…，x_k）≠0，则有

g（x₁，x₂，…，x_k）=f（x₁，x₂，…，x_k，0，…，0）>0，

因此，g（x₁，x₂，…，x_k）是正定二次型，由引理知A₁>0.必要性得证.

充分性.对n用归纳法.当n=1时，命题显然成立.假设命题对n-1阶方阵成立，对于n阶方阵A，把方阵A分块为

这时，A_n-1是对称方阵，且顺序主子式全都大于零，因此A_n-1是正定矩阵.所以，有矩阵恒等式

由条件可知

a_nn-α^TA^-1_n-1α>0.

进一步可得与E_n合同.因此A是正定矩阵.证毕.

定理9.17 设A是对称方阵，则A正定的充分必要条件是A的主子式全大于零.

证明留作习题.

5.Binet-Cauchy公式

矩阵A中第i₁，i₂，…，i_k行和第j₁，j₂，…，j_k列的交叉元素按照原来的相对位置组成的k阶子式，记作.

定理9.18 （Binet-Cauchy公式）设A，B分别是s×n，n×s阶矩阵，则有

（1）当s>n时，AB=0；

（2）当s=n时，AB=AB；

（3）当s<n时，.

证明：（1）此时，rankAB≤n<s，所以AB=0.

（2）前面已证明的结论.

（3）考虑分块矩阵，易于验证

这样，利用（2）的结论知，上式左端的行列式就等于的行列式，因此，有

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把右端的行列式按前n列展开得

把左端的行列式按前s行展开得

其中，j₁<j₂<…<j_n-s，i₁i2…i_s，j₁j₂…j_n-s是1，2，…，n的一个排列，e_γ是第γ分量为1，其余分量为0的n维列向量.

再把行列式按前n-s列展开得

由于

=n²+s²-ns+2n-s，

所以有

又由于

（n²+s²-ns+2n-s）-（ns+n）=n（n+1）+s（s-1）-2ns

是一个偶数，所以，n²+s²-ns+2n-s和ns+n有相同的奇偶性.从而得到

定理9.19 设A，B分别是s×n，n×t阶矩阵，C=AB，r是一个正整数，则

（1）当r>n时，；

（2）当r≤n时，

证明：利用矩阵乘法规则可以看到，从矩阵A中选出第i₁，i₂，…，i_r行构成矩阵A₁，从矩阵B中选出第j₁，j₂，…，j_r列构成矩阵B₁，那么

引用Cauchy-Binet公式即可.证毕.

例9.18 设

其中a_i，b_i，1≤i≤n，都是实数，下面计算行列式|AA^T|.

首先，利用Binet-Cauchy公式有

其次，通过直接计算可得

因此，有Lagrange恒等式

再注意到等式的右端非负，因此可得Cauchy-Schwarz不等式：

习题

9.7.1. 利用Cramer法则解下列线性方程组.

9.7.2. 解线性方程组

并讨论其解的情况，x，y，z是变量.

9.7.3. 已知方程组

有唯一解，证明：abc≠0，并求解.

9.7.4. 设n阶方阵A的伴随矩阵是A∗.

（1）证明：|A^∗|=|A|^n-1.

（2）计算：rankA^∗.

（3）计算：（A^∗）^∗.

9.7.5. 证明：n阶方阵

是正定矩阵.

9.7.6. 设A，B分别是m×n，n×s阶矩阵，证明：对m×s阶矩阵C=AB的任意一个r阶子式都有

（1）当r>n时，；

（2）当r≤n时，

9.7.7. 设A，B都是n阶方阵，

（1）证明：AB和BA的m阶主子式之和相等；

（2）证明：|λE-AB|=|λE-BA|.

9.7.8. 设A，B分别是m×n，n×m阶矩阵，证明：

λⁿ|λE-AB|=λ^m|λE-BA|.

9.7.9. 利用Binet-Cauchy公式证明AA^T的任意主子式都是非负的.

9.7.10. 证明下列恒等式.

（1）Euler恒等式

（x²₁+x²₂+x²₃+x²₄）（y²₁+y²₂+y²₃+y²₄）

=（x₁y₁+x₂y₂+x₃y₃+x₄y₄）²+

（x₁y₂-x₂y₁-x₃y₄+x₄y₃）²+

（x₁y₃+x₂y₄-x₃y₁-x₄y₂）²+

（x₁y₄-x₂y₃+x₃y₂-x₄y₁）²；

（2）Cauchy恒等式

（3）

（a³+b³+c³-3abc）（x³+y³+z³-3xyz）

=A³+B³+C³-3ABC，

其中A=ax+by+cz，B=az+by+cx，C=ay+bx+cz.

9.7.11. （1）计算三阶行列式.

（2）将三元三次多项式a³+b³+c³-3abc分解因式.