10.1  特征值与特征向量的计算

10.1 特征值与特征向量的计算

第5章中引入了线性变换及其矩阵的特征值与特征向量，以及对角化的概念，并且证明了在n维线性空间中的线性变换σ或其矩阵A可以对角化的充分必要条件是它具有n个线性无关的特征向量.本节，我们利用线性变换的矩阵以及行列式与线性方程组的理论研究线性变换的特征值及特征向量的计算方法.

首先重述一下特征值、特征向量等重要概念.

定义10.1 设V是数域F上的n维线性空间，σ是V上的一个线性变换，若存在数λ∈F以及非零向量α∈V使得

σ（α）=λα，则称λ是σ的一个特征值，非零向量α称为属于特征值λ的特征向量.

定义10.2 设A是数域F上的n阶方阵，若存在数λ∈F以及非零列向量x使得

Ax=λx

则称λ是方阵A的一个特征值，非零向量x称为属于特征值λ的特征向量.

定义10.3 若线性变换σ在某组基之下的矩阵是对角形矩阵，则称这个线性变换σ是可以对角化的；若n阶方阵A与一个对角形矩阵相似，则称这个方阵A是可以对角化的.

由于线性变换及其矩阵之间有明显的对应关系，因此我们只研究矩阵的特征值与特征向量，以及矩阵的对角化问题.

若λ是方阵A的特征值，则由定义10.2知道

Ax=λx， （10.1）

移项整理就得到

（λE-A）x=0. （10.2）

将式（10.2）看作一个线性方程组，那么就得到特征值λ是使得方程组（10.2）有非零解的值.由Cramer法则可以知道这等价于行列式

|λE-A|=0. （10.3）

以上分析表明矩阵A的特征值是使得式（10.3）成立的值，而特征向量是方程组（10.2）的非零解.这里，行列式λE-A是关于变量λ的多项式，称之为矩阵A的特征多项式，记作f_A（λ）或f（λ），其根为矩阵A的特征值或特征根.

若λ是方阵A的特征值，则线性方程组（λE-A）x=0的解空间

V_λ={x|Ax=λx}

称为特征值λ的特征子空间.

由于每一个线性变换σ都对应于一个矩阵A，把f_A（λ）也称为线性变换σ的特征多项式，这时也记作fσ（λ）.

由方程组的理论可以知道，特征多项式的根都是特征值.特征值作为特征多项式的根的重数称为该特征值的代数重数；而每一个特征值λ的特征子空间V_λ的维数dimV_λ称为这个特征值的几何重数.

命题10.1 相似的矩阵有相同的特征多项式.

证明：设矩阵A，B相似，即存在可逆矩阵P，使得A=P^-1BP.因此，利用行列式性质可得

|λE-A|=|P^-1（λE）P-P^-1BP|

=|P^-1（λE-B）P|

=|P^-1λ||E-B||P|

=|λE-B|，

即A，B的特征多项式相同.

例10.1 若二阶方阵

按照定义有它们的特征多项式相等，

f_E（λ）=f_A（λ）=（λ-1）².

但是，很容易看到单位阵只能与自己相似，因此这两个矩阵不相似.也就是说，命题10.1的逆是不成立的.

例10.2 设，则A的特征多项式为

所以，方阵A的两个特征值为λ₁=1，λ₂=2.

解线性方程组（λ₁E-A）x=0，可得λ₁=1的特征向量；解线性方程组（λ₂E-A）x=0，可得λ₂=2的特征向量.

如果记

则有

所以

例10.3 设，计算A¹⁰和Aⁿ.

解：由例10.2知道，对于矩阵A，如果我们取矩阵

那么就有矩阵P的逆矩阵为

并且有

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因此，

即

于是可得

同理，可得对自然数n，有

例10.4 设三阶方阵

A的特征多项式为

进而得到三个特征值λ₁=-1，λ_2，3=1.

解线性方程组（λ₁E-A）x=0，可得λ₁=-1的特征向量.

解线性方程组（λ₂E-A）x=0，可得λ₂=1的特征向量和.

取三阶方阵

则有

例10.5 设二阶方阵

A的特征多项式

f_A（λ）=|λE-A|=（λ-1）²

的特征值是λ₁，2=1.解方程组（λ₁E-A）x=0可得属于特征值λ₁=1的特征向量.由于二阶方阵A只有一个线性无关的特征向量，因此，A不能对角化.

在例10.4中，-1的几何重数和代数重数均为1；1的几何重数和代数重数均为2.在例10.5中，1的几何重数是1，而代数重数是2.一般地，一个特征值的几何重数是不会超过其代数重数的.

定理10.1 几何重数≤代数重数.

证明：设线性变换σ（或者方阵A）的特征值λ₀的几何重数是r.取V_λ0的一组基α₁，α₂，…，α_r，并扩充为V的一组基α₁，α₂，…，α_n，则σ在这组基之下的矩阵是形如

的矩阵.其特征多项式是

f（λ）=（λ-λ₀）^r|λE-A₂|.

显然，λ₀的几何重数≤λ₀的代数重数.

线性变换或其矩阵的特征值与特征向量与数域F有密切关系.例如，考虑二阶方阵

通过简单计算可以知道，这个矩阵A的特征多项式为λ²+1，在实数范围内没有解.这也就意味着，矩阵A在实数范围内没有特征值，当然也就没有特征向量.但是，如果我们把这个矩阵放在复数范围内考虑的话，就很容易看到A有两个不等的特征值±i，并且也容易求得它们各自的一个特征向量

由此可以看到，矩阵A在复数域内是可以对角化的，但是在实数域内则否.

习题

10.1.1. 判断下列方阵是否可以对角化.

10.1.2. 求出下列方阵的相似标准形.

10.1.3. 计算Aⁿ，其中.

10.1.4. 设α=（1，2，…，n），求α^Tα的特征值.

10.1.5. 证明方阵A可逆的充分必要条件是它的特征值均不是零.

10.1.6. 若A可逆，证明：A^-1的特征值是A的特征值的倒数.

10.1.7. 证明：A²的全部特征值是A的特征值的平方（注意重数）.

10.1.8. 证明：若λ₁，λ₂，…，λ_n是n阶方阵A的全部特征值，且互不相同，而f（x）是一个多项式，则有f（λ₁），f（λ₂），…，f（λ_n）是矩阵f（A）的全部特征值.

10.1.9. 求出只与自身相似的所有方阵.

10.1.10. 证明：A与A^T相似.