10.4 Jordan标准形

通过前面的讨论，我们已经可以看到并不是每一个线性变换或者矩阵都可以对角化的，例如简单的二阶方阵

另一方面，如果线性空间V在线性变换σ之下可以分解为一些σ的不变子空间的直和，那么就可以选择一组基使得σ在这组基下的矩阵具有准对角的形式.本节将进一步研究这个问题.

设V是数域FF上的n维线性空间，σ是V上的一个线性变换，其矩阵为A，F[x]是定义在数域FF上的一元多项式环.由前面的讨论知道，对任意一个多项式f（x）∈F[x]，f（σ）也是V上的一个线性变换，其矩阵恰好是f（A）.这里，我们首先研究f（σ）的一些性质.

引理10.1 若f（x），g（x）∈F[x]且f（x）g（x），那么kerf（σ）⊆kerg（σ）（或者kerf（A）⊆kerg（A）.

证明：设α∈kerf（σ），那么就有f（σ）α=0.由于f（x）g（x），因此存在多项式h（x）∈F[x]使得g（x）=f（x）h（x）.因此，g（σ）α=h（σ）f（σ）α=0.证毕.

引理10.2 设f（x），g（x），d（x）∈F[x]且（f（x），g（x））=d（x），那么kerd（σ）=kerf（σ）∩kerg（σ）（或者kerd（A）=kerf（A）∩kerg（A））.

证明：由条件（f（x），g（x））=d（x）知道d（x）|f（x），d（x）|g（x）.由引理10.1可知

kerd（σ）⊆kerf（σ），kerd（σ）⊆kerg（σ）.

因此，kerd（σ）⊆kerf（σ）∩kerg（σ）.

另一方面，若α∈kerf（σ）∩kerg（σ），那么必有f（σ）α=0，g（σ）α=0.但是，由于（f（x），g（x））=d（x），因此存在多项式u（x），v（x）使得d（x）=u（x）f（x）+v（x）g（x）.

这就是说，

d（σ）=u（σ）f（σ）+v（σ）g（σ）.

于是，

d（σ）α=u（σ）f（σ）α+v（σ）g（σ）α=0.

因此α∈kerd（σ），这表明，kerf（σ）∩kerg（σ）⊆kerd（σ）.

综上所述，有kerd（σ）=kerf（σ）∩kerg（σ）.证毕.

引理10.3 设f（x），g（x），h（x）∈F[x]，f（x）=g（x）h（x）且（g（x），h（x））=1.那么

kerf（σ）=kerg（σ）⊕kerh（σ），

（或者kerf（A）=kerg（A）⊕kerh（A））.

证明：由引理10.1显然有

kerg（A）⊆kerf（A），kerh（A）⊆kerf（A），

因此有

kerg（A）+kerh（A）⊆kerf（A）.

又由于（g（x），h（x））=1，因此存在u（x），v（x）∈F[x]，使得u（x）g（x）+v（x）h（x）=1，因此有

u（σ）g（σ）+v（σ）h（σ）=1 （10.4）

于是有

α=u（σ）g（σ）α+v（σ）h（σ）α.

但是

h（σ）u（σ）g（σ）α=u（σ）f（σ）α=0，

g（σ）v（σ）h（σ）α=v（σ）f（σ）α=0.

这表明

u（σ）g（σ）α∈kerh（σ），v（σ）h（σ）α∈kerg（σ）.

于是有

kerf（σ）⊆kerg（σ）+kerh（σ），

所以

kerf（σ）=kerg（σ）+kerh（σ）.

下面证明这个和是直和.若α∈kerg（σ）∩kerh（σ），则g（σ）α=0且h（σ）α=0.由式（10.4），

α=u（σ）g（σ）α+v（σ）h（σ）α=0.

这表明该和确为直和.因此

kerf（σ）=kerg（σ）⊕kerh（σ）.

证毕.

利用引理10.3与数学归纳法可以得到：

定理10.5 设f（x）=f₁（x）f₂（x）…f_s（x）∈F[x]，且f_i（x）两两互素，那么

kerf（σ）=kerf₁（σ）⊕kerf₂（σ）⊕…⊕kerf_s（σ），

（或者kerf（A）=kerf₁（A）⊕kerf₂（A）⊕…⊕kerf_s（A））.

设线性变换σ或其矩阵A的特征多项式是f（λ），并且f（λ）在数域F上可以分解为一次因式的乘积

其中λ_i∈F是f（λ）的不同的特征值，p_i≥1，.这时，由定理10.5可以看到

或者

但是，f（σ）是零变换，因此其核kerf（A）=V.于是线性空间V可以分解为

或者

这样问题就归结为如何找到形如σ^k=0的线性变换，即幂零变换（或者幂零矩阵）的分解问题.

下面我们总是设σ是n维线性空间V上的幂零变换.使得σ^k=0，但是σ^k-1≠0的自然数k称为σ的幂零指数.显然，幂零指数k≤n.

定义10.4 形如

的l阶方阵称为Jordan块矩阵，记作J_l（a）。由一些Jordan块矩阵组成的准对角形矩阵称为Jordan形矩阵.

显然，由例10.13可以知道Jordan块矩阵J_l（a）的最小多项式是（λ-a）^l.J_l（0）是l阶幂零矩阵，其幂零指数为l.

定义10.5 若向量ξ∈V，σ^l（ξ）=0，但σ^l-1≠0，l>1，那么L（ξ，σ（ξ），…，σ^l-1（ξ））是σ的一个l维不变子空间，称之为σ循环子空间，记作Z_l（ξ；σ）.

显然，σ|_{Zl（ξ；σ）}是Z_l（ξ；σ）的幂零变换，且幂零指数为l，其矩阵为一个l阶Jordan块矩阵

定义10.6 设V是数域F上的n维线性空间，σ是V上的一个线性变换.α₁，α₂，…，α_s是V的一个向量组.对于α∈V如果存在一组多项式f₁（λ），f₂（λ），…，fs（λ）∈F[λ]，使得

α=f₁（σ）α₁+f₂（σ）α₂+…+f_s（σ）α_s （10.5）

则称α可以由向量组α₁，α₂，…，α_s线性表示.

如果每个向量α∈V都可以由向量组α₁，α₂，…，α_s线性表示，那么就称α₁，α₂，…，αs是V的一个σ生成元系.如果V的一个σ生成元系中的每一个向量都不能由其余的向量F[λ]线性表示，则称之为V的一个最小σ生成元系.

线性空间V的任何一组基都是一个σ生成元系.容易证明，最小σ生成元系一定是存在的.

定理10.6 设V是数域F上的有限维线性空间，σ是V上的一个幂零变换，则V能分解成一些σ循环子空间的直和.

证明：对V的最小σ生成元系所含向量数目s作数学归纳法.

s=1时，设ξ是V的一个最小σ生成元系，则V={f（σ）ξf（λ）∈F[λ]}.设σ^l-1（ξ）≠0，而σ^l（ξ）=0，则Z_l（ξ；σ）={f（σ）ξf（λ）∈F[λ]}.从而，V=Z_l（ξ；σ）.

假设具有幂零变换σ的有限维线性空间，当它的最小σ生成元系含有s-1个向量时命题成立.

那么，当V的一个最小σ生成元系含有s个向量α₁，α₂，…，α_s时，需要把V分解成一个σ循环子空间与一个σ子空间的直和，其中直和项σ子空间的最小σ生成元系含有s-1个向量.以下分三步进行.

第一步，找出一个σ循环子空间的生成元ξ_1.

对于给定的i，1≤i≤s，令

H_i={h_i（λ）∈F[λ]h₁（σ）α₁+…+h_i（σ）α_i+…+h_s（σ）α_s=0} （10.6）显然集合H_i对加法、减法运算封闭，且对于h_i（λ）∈H_i，f（λ）∈F[λ]总有h_i（λ）f（λ）∈F[λ].在H_i的非零多项式中选择一个次数最低的首一多项式m_i（λ），则H_i中任一多项式h_i（λ）都是m_i（λ）的倍式.

因为σ是V的幂零变换，所以可以设，但是.于是有

因此，这表明.设，μ_i≤l_i，于是

对于上面得到的一组μ_i，i=1，2，…，不妨假设μ₁≤μ₂≤…≤μ_s.因为，根据式（10.6）得到存在h₂（λ），…，h_s（λ）∈F[λ]，使得

式（10.8）表明h_i（λ）∈H_i，i=2，…，s.因此从式（10.7）得出.又由于μ1≤μ_i，所以，，i=2，…，s.由此得到

把这组等式代入式（10.8）得

从而有等式

令

ξ₁=α₁+p₂（σ）α₂+…+p_s（σ）α_s. （10.10）

由于α₁，α₂，…，α_s是V的一个最小σ生成元系，所以ξ₁≠0.设，但是.从式（10.9）得到，因此k₁≤μ₁.又从式（10.10）得到

式（10.11）表明，从而.由此得出，μ₁≤k₁.这样就证明了k₁=μ₁.于是，可以得到ξ₁生成μ₁维σ循环子空间.

第二步，找出一个σ子空间U.

令

U={f₂（σ）α₂+…+f_s（σ）α_sf_j（λ）∈F[λ]，j=2，3，…，s}.

容易验证，U是V的线性子空间，并且是σ子空间.从而σ_U是U的幂零变换.容易看出，α₂，α₃，…，α_s是U的最小σ_U生成元系.于是，可以对U用归纳假设得到，U可以分解为一些σ_U循环子空间的直和，

显然有，j=2，3，…，s.因此，

第三步，证明.

从式（10.10）可以看出，，因此.

任取，则存在f_i（λ）∈F[λ]，i=1，2，…，s，使得

η=f₁（σ）ξ₁，η=f₂（σ）α₂+…+f_s（σ）α_s，（10.13）

于是从式（10.10）与式（10.13）得到

f₁（σ）α₁+[f₁（σ）p₂（σ）-f₂（σ）]α₂+…+[f₁（σ）p_s（σ）-f_s（σ）]α_s=0.

此式表明f₁（λ）∈H₁，从而.因此

这样就证明了，所以

据数学归纳法原理，对一切正整数s，命题成立.证毕.

定理10.7 设V是数域F上的n维线性空间，σ是V上的一个幂零变换，其幂零指数为l.那么，在V中存在一个基，使得σ在此基之下的矩阵A为Jordan形矩阵，其中每个Jordan块的主对角元都是0，并且t阶Jordan块的数目N（t）为

N（t）=rankA^t+1+rankA^t-1-2rankA^t，（10.14）

N（t）=rankσ^t+1+rankσ^t-1-2rankσ^t. （10.15）

其中Jordan块的总数等于A的特征子空间V₀的维数.这个Jordan形矩阵A称为幂零变换σ的Jordan标准形.除去Jordan块的排列次序外，σ的Jordan标准形是唯一的.

证明：根据定理10.6，线性空间V可以分解为

的形式.在每个中取一个基：

将它们合并即成为V的一组基.由于在的上述基下的矩阵是一个Jordan块，从而σ在V的上述基下的矩阵A为Jordan形矩阵

下面来计算A中t阶Jordan块J_t（0）的个数N（t）.由于A的幂零指数为l，所以k_i≤l，i=1，2，…，s.这表明当t>l时，N（t）=0.下面设1≤t≤l.(https://www.daowen.com)

首先，给定一个正整数m，我们来计算rankA^m.当m≥l时，有，i=1，2，…，s，从而A^m=0.此时有rankA^m=0.下面设m<l.如果m≥t，则J_t（0）^m=0，从而rankJ_t（0）^m=0.如果m<t，则

从而rankJ_t（0）^m=t-m.因此当m<t时，有

当1≤m<l-1时，从式（10.16）得到

rankA^m-rankA^m+1=N（m+1）+N（m+2）+…+N（l）. （10.17）

从式（10.16）得到rankA^l-1=N（l），因此式（10.17）对于m=l-1也成立.

当2≤m≤l时，从式（10.17）得到

rankA^m-1-rankA^m=N（m）+N（m+1）+…+N（l）. （10.18）

由于rankJ_t（0）=t-1，所以

rankA=r-[N（1）+N（2）+…+N（l）]

=rankE-[N（1）+N（2）+…+N（l）].（10.19）

这说明式（10.18）对m=1也成立.因此当1≤m<l时，从式（10.18）减去式（10.17）得到

N（m）=rankA^m+1+rankA^m-1-2rankA^m.

显然上式对于m≥l也成立.从而对一切m≥1有

N（m）=rankσ^m+1+rankσ^m-1-2rankσ^m. （10.20）

下面来计算σ中Jordan块的总数.从式（10.19）得到

N（1）+N（2）+…+N（l）

=rankE-rankA

=dimV-dim（Imσ）

=dim（kerσ）. （10.21）

由于幂零变换σ的特征值为零，所以它的特征子空间V₀为

V₀={α∈Vσ（α）=0}=kerσ.

于是式（10.21）表明：A中Jordan块的总数等于σ的特征7子空间V₀的维数.

从式（10.20）可以看出，对于m≥1，A中m阶Jordan块J_m（0）的数目由σ决定，因此σ的Jordan标准形如果不计Jordan块的排列次序是唯一确定的.证毕.

对于一般的线性变换，有：

定理10.8 设σ是数域F上的n维线性空间V的一个线性变换.如果σ的最小多项式m（λ）在F[λ]中能分解成一次因式的乘积

则V中存在一个基，使得σ在这个基下的矩阵A为Jordan形矩阵，其中主对角元为λ_j的t阶Jordan块J_t（λ_j）的数目N（t；λ_j）为

N（t；λ_j）=rank（σ-λ_j）^t+1+rank（σ-λ_j）^t-1-2rank（σ-λ_j）^t. （10.23）

主对角元为λ_j的Jordan块的总数N（λ_j）为

N（λ_j）=dimV-rank（σ-λ_j），j=1，2，…，s. （10.24）

这个Jordan形矩阵A称为σ的Jordan标准形.如果不计Jordan块的排列次序，σ的Jordan标准形是唯一的.

证明：由式（10.22）看出，λ₁，λ₂，…，λ_s是σ的所有不同的特征值.由式（10.22）得出，V有直和分解式

令

则τ_j是V_j上的幂零变换，并且幂零指数为l_j.于是根据定理10.7，τ_j在V_j的一个适当的基下的矩阵B_j为Jordan形矩阵，它的每个Jordan块的主对角元都是0.从而σ|_Vj在V_j的这个基下的矩阵A_j=B_j+λ_jE也是Jordan形矩阵，A_j的每个块的主对角元都是λ_j.把V_j，j=1，2，…，s的基合起来就得到V的一组基，σ在这组基下的矩阵就是

A=diag（A₁，A₂，…，A_s）.

因此A是Jordan形矩阵.A中主对角元为λ_j的t阶Jordan块J_t（λ_j）的数目N（t；λ_j）等于B_j中t阶Jordan块的数目.因此

由于当i≤l_j时，我们有

因此

当i=l_j+u（u是正整数）时，式（10.26）仍然成立.理由如下：从式（10.22）得到

于是V可以分解成

任取，根据式（10.25），β可以表示成

β=β₁+…+β_j+…+β_s，

其中，i=1，2，…，s.于是得到

0=β₁+…+（β_j-β）+…+β_s. （10.28）

由于，因此

从式（10.27）与式（10.28）得β_j-β=0，从而有

由此得到

现在任取，则η∈V_j.由于

因此.由此得出

结合式（10.29）得到

这样可以计算

N（t；λ_j）

=2dim ker（σ-λ_j）^t-dim ker（σ-λ_j）^t+1-dim ker（σ-λ_j）^t-1

=rank（σ-λ_j）^t+1+rank（σ-λ_j）^t-1-2rank（σ-λ_j）^t. （10.30）

A中主对角元为λ_j的Jordan块总数N（λ_j）等于B_j中Jordan块总数，从而等于τ_j的特征子空间V₀的维数.因为

所以

N（λ_j）=dimV₀=dim ker（σ-λ_j）=dimV-rank（σ-λ_j）. （10.31）

σ的Jordan标准形的主对角线上元素都是σ的特征值，从式（10.30）看出，对于σ的每一个特征值λ_j，主对角元为λ_j的t阶Jordan块的数目N（t；λ_j）由σ决定.因此如果不计Jordan块的排列次序，σ的Jordan标准形是唯一的.证毕.

定理10.8的矩阵语言叙述是：

定理10.9 设A是数域F上的n阶方阵，如果A的最小多项式m（λ）在F[λ]中能分解为一次因式的乘积

则A与一个Jordan形矩阵相似，如果不计Jordan块的排列次序，A的这个Jordan形矩阵由A唯一决定，它称为A的Jordan标准形，其中Jordan块J_t（λ_j）的数目N（t；λ_j）为

N（t；λ_j）=rank（A-λ_jE）^t+1+rank（A-λ_jE）^t-1-2rank（A-λ_jE）^t.

主对角元为λ_j的Jordan块的总数N（λ_j）为

N（λ_j）=n-rank（A-λ_jE），j=1，2，…，s.

由于复系数多项式在复数范围内总可以分解为一次因式的乘积，因此任意复方阵总与一个Jordan形矩阵相似.

Jordan标准形的计算可以分成以下四步：

•第一步，写出线性变换σ的矩阵A.

•第二步，计算矩阵A的特征多项式f（λ），并将它分解因式.如果f（λ）在F[λ]中可以分解为一次因式的乘积，则σ有Jordan标准形；否则，σ没有Jordan标准形.

•第三步，当σ有Jordan标准形J时，由于J与A相似，所以J的主对角线上元素都是A的特征值，并且特征值λ_j在J的主对角线上出现的次数等于λ_j作为A的特征多项式的根的重数.对于每个特征值λ_j，可按下面办法计算出各阶Jordan块的数目.首先，求出rank（A-λ_jE），则主对角元为λ_j的Jordan块的总数