10.3  特征多项式与最小多项式

10.3 特征多项式与最小多项式

定理10.2 （Cayley-Hamilton定理）若f（λ）是n阶方阵A的特征多项式，则f（A）=0.

证明：设B（λ）是n阶方阵λE-A的伴随矩阵，则利用伴随矩阵的性质有

B（λ）（λE-A）=f（λ）E.

由于B（λ）的元素都是方阵λE-A的n-1阶子式，因此，都是λ的次数最多是n-1次多项式.这样，B（λ）可以写成如下形式：

B（λ）=λ^n-1B₀+λ^n-2B₁+…+λB_n-2+B_n-1，

其中B_i，0≤i≤n-1，是与λ无关的n阶矩阵.再设

f（λ）=λⁿ+a₁λ^n-1+…+a_n-1λ+a_n，

由于B（λ）（λE-A）=f（λ）E，则有

（λ^n-1B₀+λ^n-2B₁+…+λB_n-2+B_n-1）（λE-A）

=λⁿE+a₁λ^n-1E+…+a_n-1λE+a_nE.

比较等式两端λ的各次幂的系数，可得

依次用Aⁿ，A^n-1，…，A，E从右边乘上面各式，可得

相加即得

f（A）=Aⁿ+a₁A^n-1+…+a_n-1A+a_nE=O.

证毕.

推论10.1 设线性变换σ的特征多项式是f（λ），那么f（σ）=0.

注意 这里f（σ）是一个线性变换.

定理10.3 设n阶方阵A的特征多项式是λⁿ+a₁λ^n-1+…+a_n-1λ+a_n，其特征值依次是λ₁，λ₂，…，λ_n，则有

TrA=λ₁+λ₂+…+λ_n，

|A|=λ₁λ₂…λ_n.

若A是n阶方阵，使f（A）=0的多项式f（x）称为方阵A的零化多项式.显然，对任意方阵A零化多项式一定是存在的，如A的特征多项式就是一个零化多项式.对于方阵A，首项系数是1且次数最低的零化多项式，称为A的最小多项式，记作m_A（x）或m（x）.显然，最小多项式一定是存在的.

若线性变换σ的矩阵是A，那么A的零化多项式与最小多项式分别称为σ的零化多项式与最小多项式.

命题10.2 多项式g（x）是方阵A的零化多项式的充分必要条件是A的最小多项式m_A（x）|g（x）.

证明：必要性，由带余除法知道，存在q（x），r（x），使得

g（x）=q（x）m_A（x）+r（x），

其中，r（x）=0或者degr（x）<degm_A（x）.那么，就有

g（A）=q（A）m_A（A）+r（A）.

由于g（A）=0，m_A（A）=0，因此有r（A）=0，即r（x）是A的零化多项式，再由于m_A（x）是最小多项式，则有r（x）=0.

充分性显然.证毕.

推论10.2 最小多项式整除特征多项式，即m_A（x）|f_A（x）.

证明：由Cayley-Hamilton定理f_A（x）是A的零化多项式，再由命题有m_A（x）|f_A（x）.

证毕.

推论10.3 最小多项式是唯一的.

命题10.3 相似的矩阵有相同的最小多项式.

证明：设A，B相似且P^-1AP=B.注意到P^-1A^kP=B^k，则有

m_A（B）=P^-1m_A（A）P=O，

即m_B（x）|m_A（x）.同理，m_A（x）|m_B（x），又由于m_A（x），m_B（x）都是首一多项式，因此，m_A（x）=m_B（x）.证毕.

命题10.4 若不计根的重数，那么矩阵A的最小多项式m_A（x）与其特征多项式f_A（x）有相同的根.

证明：由推论10.1可以知道只需证明若λ是f_A（x）的根，则λ也是m_A（x）的根即可.设向量α≠0是属于特征值λ的特征向量，则有Aα=λα.进一步计算可得

A^kα=λ^kα，0≤k≤n.

这样就可以得到

0=m_A（A）α=m_A（λ）α，

所以，m_A（λ）=0.证毕.

命题10.5 若A₁，A₂都是方阵，分块对角阵

则A的最小多项式，即A的最小多项式是A₁与A₂的最小多项式的最小公倍式.

证明：记，则有

即h（x）是A的零化多项式，由命题10.2有m_A（x）|h（x）.(https://www.daowen.com)

另一方面，又有

即m_A（x）是A₁，A₂的零化多项式.由命题10.2，，i=1，2，进而有h（x）m_A（x）.由上即得.证毕.

推论10.4 设A₁，A₂，…，A_s都是方阵，准对角阵A=diag（A₁，A₂，…，A_s），则有

例10.10 设矩阵

则f_A（x）=f_B（x）=（x-1）2，m_A（x）=x-1，m_B（x）=（x-1）2.由命题10.3知矩阵A与B不相似.

例10.11 设四阶矩阵

则

f_A（x）=（x-1）³（x-2），f_B（x）=（x-1）²（x-2）²，

m_A（x）=m_B（x）=（x-1）²（x-2）.

由于矩阵A与B的特征多项式不相同，因此不相似.

例10.12 计算n阶纯量方阵aE的特征多项式和最小多项式，a是实数.简单计算可以得到其特征多项式为f（x）=（x-a）n，最小多项式m（x）应是f（x）的因式，故此只有（x-a）k的形式，验算可得x-a是最小多项式.

例10.13 计算n阶方阵

的特征多项式和最小多项式，a是实数.

解：f（x）=（x-a）ⁿ.m（x）应该是f（x）的因式（x-a）^k，0≤k≤n，之一.验算可得（A-aE）^n-1≠0，即得m（x）=（x-a）ⁿ.

定理10.4 方阵A相似于对角矩阵的充分必要条件是其最小多项式是互素的一次多项式的乘积.

证明：必要性由推论10.3即得.下面证明充分性.

若方阵A是n维线性空间V上的线性变换σ的矩阵，它的最小多项式是

m_A（x）=（x-λ₁）（x-λ₂）…（x-λ_s），

这里，λ₁，λ₂，…，λ_s是互不相同的数.记，

V_i={α|（A-λ_iE）α=0}，1≤i≤s.

下面我们来证明V=⊕V_i.

易见（g₁（x），g₂（x），…，g_s（x））=1，则存在q₁（x），q₂（x），…，q_s（x），使得

q₁（x）g₁（x）+q₂（x）g₂（x）+…+q_s（x）g_s（x）=1，

以矩阵A代入得到

q₁（A）g₁（A）+q₂（A）g₂（A）+…+q_s（A）g_s（A）=E.

对任意的向量α，

α=q₁（A）g₁（A）α+q₂（A）g₂（A）α+…+q_s（A）g_s（A）α.

由于

（A-λ_iE）q_i（A）g_i（A）α=q_i（A）（A-λ_iE）g_i（A）α=q_i（A）m_A（A）α=0，

可得q_i（A）g_i（A）α∈V_i，1≤i≤s.这样得到.

为证明这是一个直和，下面来证明零向量的表示法是唯一的.若

α₁+α₂+…+α_s=0，α_i∈V_i，1≤i≤s，

则

0=g_i（A）0=g_i（A）（α₁+α₂+…+α_s）=g_i（A）α_i.

由于（g_i（x），x-λ_i）=1，故存在多项式u（x），v（x）使得

u（x）g_i（x）+v（x）（x-λ_i）=1.

代入A得到

u（A）g_i（A）+v（A）（A-λ_iE）=E，

则有

α_i=u（A）g_i（A）α_i+v（A）（A-λ_iE）α_i=0，1≤i≤s.

这样就证明了零向量的表示方法是唯一的.因此，V=⊕V_i.这说明A有n个线性无关的特征向量，因此可以对角化.证毕.

习题

10.3.1. 求下列方阵的最小多项式，并指出它们是否可以对角化.

10.3.2. 求出n阶对合矩阵的最小多项式.

10.3.3. 求出n阶幂等矩阵的最小多项式.

10.3.4. 非零的幂零矩阵一定不能对角化.