10.2  对称矩阵标准形的计算

10.2 对称矩阵标准形的计算

在第6章中研究了欧氏空间中的对称变换，并得到如下结果：

（1）对称矩阵的特征值一定是实数；

（2）对称矩阵属于不同特征值的特征向量一定是正交的；

（3）对称矩阵一定正交相似（合同）于一个对角形矩阵，或者说对称矩阵一定是可以对角化的.

由此我们可以得到计算对称矩阵A在正交合同之下的标准形的步骤：

（1）计算对称矩阵A的特征值及特征向量；

（2）利用Gram-Schmidt正交化方法把属于同一特征值的特征向量正交化；

（3）把所有求出的特征向量单位化；

（4）用单位化后的特征向量组为列构造正交矩阵O，则该矩阵使得O^TAO成为对角形矩阵.

例10.6 用正交变换化二次型f（x₁，x₂，x₃）=3x²₁+2x²₂+x²₃-4x₁x₂-4x₂x₃为标准形.

解：二次型的矩阵是

其特征多项式为

f（λ）=（λ+1）（λ-2）（λ-5），

特征值是λ₁=-1，λ₂=2，λ₃=5.

进一步，可解得它们对应的特征向量分别是

把它们正交化并单位化得到

以这三个向量为列构造正交矩阵

则有

作正交变换X=OY，在此变换之下二次型f化为标准形-y²₁+2y²₂+5y²₃.

例10.7 设四阶方阵

求正交矩阵O，使得O^TAO是对角阵.

解：首先，计算A的特征多项式

f（λ）=λE-A=λ²（λ-2）²，

从而得到A的四个特征值λ₁，2=0和λ₃，4=2.

对于特征值λ=0，解齐次线性方程组Ax=0，得到两个线性无关的特征向量

正交化并单位化之后得到

(https://www.daowen.com)

对于特征值λ=2，解齐次线性方程组（2E-A）x=0，得到两个线性无关的特征向量

正交化并单位化之后得到

以这四个特征向量为列构造正交矩阵

则有O^TAO=diag（0，0，2，2）.

例10.8 利用平面正交变换化双曲线xy=1为标准形式.

解：二次型xy的矩阵是

A的特征多项式是，特征值是，对应于这两个特征值的特征向量是

单位化之后得到

记正交矩阵

作正交变换X=OX′，其中，，得到双曲线xy=1化为.

例10.9 判断二次曲面3x²+2y²+z²-4xy-4yz=1的形状.

解：由例10.6可以知道，作正交变换X=OX′，其中

之后，二次曲面的方程变为

由于正交变换不改变曲线的形状，因此，二次曲面是一个单叶双曲面.

习题

10.2.1. 求正交矩阵O，使O^TAO成为对角形矩阵，其中A为

10.2.2. 利用正交变换把下列二次型化为标准形.

（1）x²₁+2x₁x₂+4x₁x₃-x²₂；

（2）2x₁x₂+6x₂x₃+2x₃x₁；

（3）4x²₁+2x₁x₂+6x²₂-8x²₃.

10.2.3. 把平面二次曲线x²-xy+y²+2x+2y-1=0化为标准形式，并判断它的形状.

10.2.4. 把二次曲面6x²-2y²+6z²+4xz+8x-4y-8z-2=0化为标准形式，并判断它的形状.

10.2.5.若A是n阶对称矩阵，计算：n元函数f（X）=X^TAX在n维单位球面x²₁+x²₂+…+x²_n=1上的最大值和最小值.

10.2.6. 设A是n阶正定矩阵，计算：n重积分.已知：