分布曲线分析法
分布曲线分析法是将测量加工后所得一批工件的实际尺寸或误差，根据测量结果作出该批工件尺寸或误差的分布图，按照此图来分析和判断加工误差的情况。具体包括：通过工艺过程分布图分析，可以确定工艺系统的加工能力系数、机床调整精度系数和加工工件的合格率，并能分析产生废品的原因。
（一）画实际分布曲线
通过实例来说明实际分布曲线的绘制步骤。
【例4-1】检查一批在卧式镗床上精镗后的活塞销孔直径。图纸规定尺寸与公差为
，随机抽取n＝100个工件（称为样本）进行测量，按表4-2记录测得的数据。
解：由于随机误差和变值系统误差的存在，发现这些孔的尺寸各不相同，这种现象称为“尺寸分散”。按尺寸大小将整批工件进行分组，分组数应适当（参照表4-3）。每一组中的零件尺寸处在一定的间隔范围内。同一尺寸间隔内的零件数量称为频数，频数与该批零件总数之比称为频率。
表4-2 活塞销孔测量结果
表4-3 样本与组数的选择
取分组数k＝6。则分组间隔为
以工件尺寸或误差为横坐标，以频数或频率为纵坐标，即可作出该工序加工尺寸的实际分布直方图。为了便于比较，纵坐标应采用频率密度。
直方图上矩形的面积＝频率密度×组距－频率
图4-40 活塞销孔直径尺寸实际分布
以组中值Xi 代替组内零件实际值，绘制实际分布曲线——折线图，如图4-40（由直方图的组中值连线而得）所示。分散范围＝最大孔径－最小孔径＝28．004－27．992＝0．012mm。
为了进一步分析该工序的加工精度情况，可在实际分布图上标出该工序的公差带位置，并计算该样本的统计数字特征，即平均值
和标准偏差σ。
样本的平均值
表示该样本的尺寸分散中心，它主要取决于调整尺寸的大小和常值系统性误差。
公差范围中心：LM＝28－0．015ρ2＝27．992 5mm。
常值系统误差：Δcx＝27．997 9－27．992 5＝0．0054mm。
样本的标准偏差σ反映了该批工件的尺寸分散程度，它是由变值系统误差和随机误差决定的。该误差大，σ也大；误差小，σ也小。
由图4-40可以看出，部分工件的尺寸超出了公差范围，即出现了废品（实际分布曲线图中阴影部分）；但这批工件的分散范围0．012mm 比公差带0．015mm 小，说明实际加工能力比图纸要求的要高（T＞6σ）。之所以出现废品，是由于有系统误差Δcx＝0．0054存在。如果能设法将分散中心调整到公差范围中心，工件就完全合格。具体的调整方法是将镗刀的伸出量调短些，以减少镗刀受力变形产生的加工误差。
为了知道这一批零件的废品率，进一步研究工序的加工精度问题，常常应用数理统计学中的一些理论分布曲线代替实际分布曲线，以便找出频率密度与加工尺寸（或误差）之间的关系。
（二）理论分布曲线
（1）正态分布曲线。大量实验表明，用调整法加工一批工件，当加工中不存在明显的变值系统误差时，各随机误差之间是相互独立的，在随机误差中没有一个是起主导作用的误差因素，则加工后零件的尺寸是近似服从正态分布曲线（即高斯曲线），如图4-41所示。
其概率密度的函数表达式是
图4-41 正态分布曲线
式中，y——分布概率密度；
x——随机变量；
μ——正态分布随机变量总体的算术平均值（分散中心）；
σ——正态分布随机变量的标准偏差。
正态分布的概率密度函数有两个特征参数。由式（4-22）及图4-41可以看出，当x＝μ时，
，这是曲线的最大值，也是曲线的分布中心。在它左右的曲线是对称的。正态分布总体的μ 和σ 通常是不知道的，但可以通过它的样本平均值
和样本标准偏差σ 来估计。即用样本的
代替总体的μ，用样本的σ代替总体的σ。
是表征分布曲线位置的参数，当σ不变时，改变
的值，分布曲线沿横坐标移动，但形状不变，如图4-42（a）所示。σ是表征分布曲线形状的参数，当
不变时，改变σ，曲线形状发生变化，如图4-42（b）所示。可见，σ反映了随机变量的分散程度，其大小完全由随机误差所决定。
平均值μ＝0，标准差σ＝1的正态分布称为标准正态分布，记为：x（z）～N（0，1）。由分布函数的定义可知，正态分布函数是正态分布概率密度函数的积分，即
图4-42 
、σ 对正态分布曲线的影响
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正态分布曲线下的面积
，代表了全部零件数（即100%）。令
，则
利用式（4-24），可将非标准正态分布（图4-41）转换成标准正态分布进行计算。F（z）为图4-41中有阴影部分的面积。不同z值的F（z）可由表4-4查出。
表4-4 
当x－μ＝±3σ时，由表4-4查得2F（3）＝99．73%，即99．73%的工件尺寸落在±3σ范围内，仅有0．27%的工件在范围之外（可忽略不计）。因此，可以认为正态分布曲线的分散范围为±3σ。
±3σ（或6σ）的概念，在研究加工误差时应用很广，是一个很重要的概念。6σ的大小代表某加工方法在一定条件下所能达到的加工精度，所以在一般情况下，应该使所选择的加工方法的标准差σ与公差带宽度T 之间具有下列关系：
但考虑到系统性误差及其他因素的影响，应当使6σ小于公差带宽度T，方可保证加工精度。
（2）非正态分布曲线。工件实际尺寸的分布情况，有时并不符合正态分布。例如，将在两次调整下加工出的工件混在一起测定，尽管每次调整时加工的工件都接近于正态分布，但由于常值系统误差不同，相当于两个正态分布中心位置不同，叠加在一起就会得到如图4-43（a）所示的双峰曲线。
又如当磨削细长孔时，如果砂轮磨损较快且没有自动补偿，则工件的实际尺寸分布将成平顶分布，如图4-43（b）所示。它实质上是正态分布曲线的分散中心在不断地移动，也即在随机性误差中混有变值系统性误差。
再如，用试切法加工轴颈或孔时，由于操作者为了避免产生不可修复的废品，主观地（而不是随机的）使轴颈加工得宁大勿小，使孔径加工得宁小勿大，则它们的尺寸就是偏态分布，如图4-43（c）所示。当用调整法加工、刀具热变形显著时，也会出现偏态分布。
图4-43 几种非正态分布曲线
（三）分布曲线的应用
（1）判别加工误差的性质。如果T/6σ＜1，则必然出现废品，且主要是由随机误差造成的。如果T/6σ≥1，且有废品出现，则主要是由系统误差引起的；如果此时尺寸分布服从正态分布，则说明加工过程中没有明显的变值系统误差。尺寸分散中心
与公差带中心不重合就说明存在常值系统误差。
（2）确定工序能力及等级。工序能力是指某工序处于稳定、正常状态时，此工序加工误差正常波动的幅值。当加工尺寸服从正态分布时，根据±3σ原则，工序能力为6σ。引入工序能力系数Cp 以判断工序能力的大小。Cp 按下式计算：
根据Cp 的大小，把工序能力分为五级（见表4-5）。一般情况下，工序能力不应低于二级。
表4-5 工序能力系数等级
（3）估算不合格品率。根据【例4-1】已计算出的结果，可知其工序能力系数：
因为
查表4-4由插值法可得：F（z）＝0．325 3。
所以
P废品率＝0．5－F（z）＝0．5－0．325 3＝0．1747＝17．47%
P合格率＝0．5＋F（z）＝0．5＋0．325 3＝0．825 3＝82．53%
【例4-2】在卧式镗床上镗削一批箱体零件的内孔，孔径尺寸要求为
，已知孔径尺寸按正态分布，
＝70．08mm，σ＝0．04mm，试计算这批加工件的合格品率和不合格品率。
解：根据题意作图4-44（分布图）：
转换为标准正态分布时：
图4-44 镗孔尺寸分布图
查表4-4得：F（2）＝0．477 2；F（3）＝0．498 65。
曲线右半部分的尺寸不合格品率为P右＝0．5－F（3）＝0．5－0．498 65＝0．135%，这些不合格品不可修复。
曲线左半部分的尺寸不合格品率为P右＝0．5－F（2）＝0．5－0．477 2＝0．022 8＝2.28%，这些不合格品可修复。
合格品率为P＝1－0．135%－2．28%＝97．585%。
由前面的实例分析发现，分布曲线分析法难以把随机误差与变值系统误差区分开，主要是由于分析时没有考虑到工件加工的先后顺序。另外是在一批工件加工完毕后才知道尺寸分布情况的，因此不能在加工过程中及时提供控制精度的信息。采用点图分析法可以弥补这些不足。
