一元线性回归模型

二、一元线性回归模型

一元线性回归模型是只有一个因变量和一个自变量的回归模型，因变量Y主要受自变量X的影响，该模型形式为

式中，β1与β2为模型参数，又称为回归系数；εi为随机误差项，包含了除X以外的其他因素对Y的影响。

（一）总体回归函数

由于自变量X与因变量Y是不确定的相关关系，当自变量X取某一固定值时，因变量Y的取值并不固定，而是形成一定分布，这是Y在X取某一定值时的条件分布。Y条件分布的均值与X存在线性函数关系，称为总体回归函数，形式为

式中，参数β2表示自变量X每变动一个单位所引起的因变量Y的平均变动额。

（二）样本回归函数

总体回归函数事实上是未知的，需要利用样本的信息对其进行估计。一元线性回归模型的样本回归函数是对总体回归函数的估计，其形式为(https://www.daowen.com)

式中，是对与Xi相对应的的估计和是对总体回归系数β1与β2的估计。因此，实际观测到的因变量Yi的值，可表示为

式中，ei称为残差。

样本回归函数与总体回归函数之间的联系显而易见。这里需要特别指出的是它们之间的区别。

（1）总体回归线是未知的，它只有一条。而样本回归线则是根据样本数据拟合的，每抽取一组样本，便可以拟合一条样本回归线。

（2）总体回归函数中的β1与β2是未知的参数，表现为常数。而样本回归函数中的和是随机变量，其具体数值随所抽取的样本观测值不同而变动。

（3）总体回归函数中的εi是Yi与未知的总体回归线之间的纵向距离，它是不可直接观测的。而样本回归函数中的ei是Yi与样本回归线之间的纵向距离，当根据样本观测值拟合出样本回归线之后，可以计算出的ei具体数值。