二重积分的概念

一、二重积分的概念

引例1 （平面薄板的质量）已知一平面薄板，在xOy平面上占有区域D，其质量分布的面密度函数μ=μ（x，y）为D上的连续函数，试求薄板的质量M（图3-1）.

由于薄板质量分布不均匀，故我们采用微元法，分三步解决这个问题.

（1）分割：将区域D任意分割成n个小块

用Δσi（i=1，2，…，n）既表示第i个小块，也表示第i个小块的面积.

（2）求和：记di为Δσi的直径（即di表示Δσi中任意两点间距离的最大值）.当di很小时，可以认为在Δσi上质量分布是均匀的，用任意点（ξi，ηi）∈Δσi处的密度μ（ξi，ηi）作为Δσi的面密度，记Δmi为第i个小块的质量，则

引例2 （曲顶柱体的体积）若有一个柱体，它的底是xOy平面上的闭区域D，它的侧面是以D的边界曲线为准线，且母线平行于z轴的柱面，它的顶是曲面z=f（x，y）.设f（x，y）≥0为D上的连续函数，称这个柱体为曲顶柱体（图3-2）.下面求其体积.

为所求曲顶柱体的体积V.

在几何、力学、物理和工程技术中，许多几何量和物理量虽然不同，但解决问题的方法却完全相同，且最后都归结为同一结构的和式的极限.为更方便地研究此类和式的极限，我们把其数量关系上的共性加以抽象概括，就得到二重积分的概念.

设z=f（x，y）是定义在有界闭区域D上的有界函数.

其中f（x，y）称为被积函数，D称为积分区域，f（x，y）dσ称为被积表达式，dσ称为面积微元，x和y称为积分变量.

若函数f（x，y）在有界闭区域D上的二重积分存在，则称f（x，y）在D上可积.

可以证明：若函数f（x，y）在有界闭区域D上连续，则f（x，y）在D上可积.

由二重积分的定义可见，非均匀物质薄板D的质量，曲顶柱体的体积

与定积分类似，二重积分的几何意义为：若在区域D上f（x，y）≥0，则二重积分表示以区域D为底，以曲面z=f（x，y）为曲顶的曲顶柱体的体积.若在区域D上f（x，y）≤0，则上述曲顶柱体在xOy面的下方.二重积分的值是负的，它的绝对值为该曲顶柱体的体积.