在直角坐标系下计算二重积分
我们由二重积分的定义可知，当f（x，y）在区域D上可积时，其积分值与区域D的分割方法无关，因此可以采取特殊的分割方法来计算二重积分，以简化计算.在直角坐标系中，用分别平行于x轴和y轴的直线将区域D分成许多小矩形，这时面积元素dσ=dxdy，二重积分也可记为
在讨论二重积分的计算之前，先要介绍两种类型的区域.
（1）若区域D可以表示为
其中φ1（x），φ2（x）在[a，b]上连续，则称D为x型区域（图3-3）.
（2）若区域D可以表示为
其中ψ1（y）、ψ2（y）在[c，d]上连续，则称D为y型区域（图3-4）.
图3-3
图3-4
下面以积分区域为x型区域为例.由二重积分的几何意义可知，我们可以通过计算以曲面z=f（x，y）为顶，以xOy平面上闭区域D为底的曲顶柱体的体积来得出二重积分的值.
采用“已知平行截面面积求立体的体积”的方法，如图3-5所示，过点（x，0，0）（a≤x≤b）作垂直于x轴的平面与曲顶柱体相截，其截面为以区间[φ1（x），φ2（x）]为底，曲线z=f（x，y）为曲边的曲边梯形（图中阴影部分），记其面积为S（x），由定积分的几何意义可知
其中f（x，y）中的x在关于y的积分过程中视为常数.
于是，便得到该曲顶柱体的体积为
图3-5
称上式为先对y后对x的二次积分.
类似地，若积分区域为y型区域，得
称上式为先对x后对y的二次积分.
例2 计算
，其中D由y=x，x=1，y=0围成.
解 画出区域D的图形，如图3-6所示.
若先对y积分，则D可表示为：0≤y≤x，0≤x≤1，因此
若先对x积分，如图3-7所示，则D可表示为：y≤x≤1，0≤y≤1，因此
图3-6
图3-7
例3 将
化为两种不同次序的二次积分，其中D由y=x，y=2-x和x轴围成.
解 画出区域D的图形（图3-8）.
图3-8
则D可表示为0≤y≤1，y≤x≤2-y.故
或D表示为D1：0≤x≤1，0≤y≤x和D2：1≤x≤2，0≤y≤2-x.故
例4 计算
，其中D是长方形区域：0≤x≤1，-1≤y≤0.
解 如果先对x积分，需要采用分部积分法；如果先对y积分，则不必采用分部积分法，计算会简单些.因此选择先对y积分.
例5 计算
，其中D由y=2，y=4，y=x，y=x-4围成.
分析 若先对y积分，要用平行于y轴的直线将区域D分成三个x型区域D1，D2，D3（图3-9）.分别求这三个x型区域上的二重积分，最后利用积分可加性把它们相加即得.
若先对x积分，D可表示为：y≤x≤y+4，2≤y≤4，这是一个y型区域（图3-10），因此我们先对x积分比较简便.
图3-9
图3-10
解
由例3、例4、例5可以发现，将二重积分化为二次积分时，在选择积分次序时要考虑被积函数和积分区域两个因素.
例6 计算
.
解 由于
不能用初等函数表示出来，因此，我们考虑用交换积分次序的方法来计算这个二重积分.
D={（x，y）|0≤x≤1，x≤y≤1}为其积分区域，如图3-11所示.
图3-11
一般地，交换二次积分次序的步骤如下：
（1）对于给定的二重积分
，先根据其积分限
画出积分区域 D.
（2）根据积分区域的形状，按新的次序确定积分区域D的积分限
（3）写出结果
综上所述，将二重积分化为二次积分，选择积分次序时，不仅要考虑被积函数的特点，还要看积分区域的特征.选择恰当的积分次序，能简化积分的计算.