在极坐标系下计算二重积分

二、在极坐标系下计算二重积分

有些二重积分，积分区域D的边界曲线用极坐标方程表示时比较方便，且被积函数用极坐标变量r，θ比较简单，因此下面介绍利用极坐标计算二重积分.

在极坐标系下，我们用两组曲线r=常数及θ=常数，即一组同心圆与一组过原点的射线，将区域D任意分成许多小区域（图3-12）.设dσ是极坐标变量r到r+dr和θ到θ+dθ之间的小区域，当无限细分时，我们可以把小区域dσ近似看作小矩形，它的边长分别为dr和rdθ，因此，得到极坐标系下的面积微元dσ=rdrdθ.

由直角坐标与极坐标的关系x=rcosθ，y=rsinθ，得

上式右端D的边界曲线要用极坐标方程表示.

将上式右端化为二次积分时，通常是选择先对r积分，后对θ积分.确定积分限一般分下列三种情形：

（1）极点O在区域D的内部

积分区域D由连续曲线r=r（θ）围成（图3-13）.

（2）极点O在区域D的外部

积分区域D是由极点出发的两条射线θ=α，θ=β和两条连续曲线r=r1（θ），r=r2（θ）围成（图3-14）：

（3）极点O在区域D的边界上

积分区域D是由极点出发的两条射线θ=α，θ=β和连续曲线r=r（θ）围成（图3-15）：

一般来说，如果积分区域D为圆域、扇形域或被积函数为f（x2+y2）时，采用极坐标计算二重积分比较方便.