3.2.2　有效性

3.2.2　有效性

定义3.2.2 设和是同一参数θ的两个无偏估计量，若对于任意样本容量n有，则称较有效。

例如=X1和都是μ=E（X）的无偏估计量，由于

所以较有效。从这个意义上讲，我们愿用，而不用作为μ的估计量。

例3.2.2 比较 与的有效性，其中ai为正常数，i=1，2，…，n，且

解 显然，当时，现设所有ai不全相等。前面已证明是总体均值μ的无偏估计量，且计算得，而

利用不等式a2i+a2j≥2aiaj（当且仅当ai=aj时等式成立）可得

若，则由上式可得(https://www.daowen.com)

可见，故

这表明，比更有效。

显然，当μ≠0时，μ的任何线性无偏估计量必有本例中的的形式，所以本例也表明X是总体均值μ的所有线性无偏估计量中最有效的一个无偏估计量，也就是说，样本均值是总体均值的最小方差无偏估计量。

研究最小方差无偏估计量是否存在以及存在的情况下如何寻找是一个比较复杂的问题。在这里不进行讨论，下面不加证明地给出两个结果：

（1）频率是概率的最小方差无偏估计量。

（2）对于正态总体N（μ，σ2），和S2分别是μ和σ2的最小方差无偏估计量。

由此我们不难理解，在实际工作中人们为什么根据样本不合格率作为全部产品（总体）不合格率的估计量，用样本均值、样本方差分别作为总体均值、总体方差的估计量。