1.1.6　高斯函数

1.1.6　高斯函数

一维高斯函数（Gaussian Function）定义为

式中，a＞0。

该函数图形如图1.1.9（a）所示，指数中加入因子π，是为了使高斯函数曲线的中央高度具有最大值1，曲线下的面积等于a。

二维高斯函数定义为

式中，a＞0，b＞0。

该函数图形如图1.1.9（b）所示，函数曲线下的体积等于ab。若a=b=1，则二维高斯函数可表示成

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图1.1.9　高斯函数

若用极坐标表示，则令r=，便有

高斯函数具有下列重要性质：

①它是光滑函数，且其各阶导数都是连续的；

②高斯函数的傅里叶变换也是高斯函数。

高斯函数在统计学领域内经常遇到。在光学领域中，它常用来描述激光器发出的高斯光束，有时也用于光学信息处理中的“切趾术”（详见第8章）。