1.3.1 卷积概念的引入
我们来考察一个线光源经过狭缝后的夫琅和费衍射。如图1.3.1所示，线光源置于会聚透镜L1的前焦平面上，它与x0轴方向一致，其强度分布（物函数）为I0（x0），欲求透镜L2后焦平面（像平面）上的强度分布。
图1.3.1 线光源的夫琅和费衍射
由基础光学知：根据单缝夫琅和费衍射的强度公式，位于x0=0处的一小段光源I0（0）Δx0，通过系统后的像强度分布ΔIi（xi）为
式中，a为缝宽，φ=arctan
，f为会聚透镜L1、L2的焦距。位于x0处的一小段光源I0（x0）Δx0通过系统后的像强度分布ΔIi（xi，x0）为
式中，θ=arctan
。式（1.3.2）是斜入射情况下单缝夫琅和费衍射的强度公式。在近轴条件下，可简化为
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式（1.3.3）表示x0处点光源I0（x0）Δx0通过系统后的像强度分布，对于满足近轴条件的一切x0都是成立的。从该式的结构可以看出，位于不同x0处的光源，除了I0（x0）Δx0可能不同外，通过系统后的像强度的“分布形式”是一样的。若x0=0处的单位强度的点光源对应的像强度分布记为
则在x0处单位强度点光源对应的像强度分布为P（xi-x0），也就是P（xi）在xi方向上平移了x0。式（1.3.3）可以用函数P（xi）表示为
物平面内的线光源上的每一点都会在像平面上形成一个确定的强度分布。由于线光源上各点之间完全不相干，所以各点在像平面上得到的光强度分布之间也完全不相干。这样，像平面上某点xi处的总光强Ii（xi）应该是所有这些点光源的光强分布在该点所取值之和。于是，Ii（xi）可表示成
Ii(xi)=I0(0)Δξ·P(xi)+I0(ξ1)Δξ·P(xi-ξ1)+I0(ξ2)Δξ·P(xi-ξ2)+…
当Δξ→0时，ξ遍取所有的x0值，则Ii（xi）可用积分式表示为
上式称为I0（x）对P（x）的卷积运算。