1.2.3 δ函数的性质
在Dirac引入δ函数20多年后，其严格的理论才由L.施瓦茨发展起来。这里不加证明，仅列出δ函数的几个基本性质。
1.筛选特性（Sifting Property）
若函数f（x，y）在（x0，y0）点连续，则有
δ函数的这一性质使我们在分析线性系统时，几乎可以把一切函数都分解成δ函数的线性组合，而每一个这样的δ函数都产生它自己的脉冲响应。
2.可分离变量（Separable Variable）
在直角坐标系下，有
而在极坐标系下，相应的表达式为
式中，r与r0分别是相应于点（r，θ）和点（r0，θ0）的矢径，并且
同时
3.乘法性质（Multiplication）
设函数f（x，y）在（x0，y0）处连续，则有
推论：
①f(x,y)δ(x,y)=f(0,0)δ(x,y)
②δ(x,y)δ(x-x0,y-y0)=0(x0≠0,y0≠0)
③δ（x，y）δ（x，y）无定义
4.坐标缩放（Scaling）
式中，a、b为任意实常数。
推论：
故δ函数是偶函数。
5.积分形式（Integration）
式（1.2.14）表明：δ函数可以由等振幅的所有频率的正弦波（用余弦函数表示）来合成，换言之，δ函数可以分解成包含所有频率的等振幅的无数正弦波。这一概念对于理解某些光学现象是很重要的。式（1.2.14）和式（1.2.15）的证明留待本章习题中进行。
*6.微分形式（Differentiation）
引入符号δ（1）（x）=
，则有
式中，f（x）有界且在x=0处可微。(https://www.daowen.com)
为了证明式（1.2.16a）和式（1.2.16b），可以采用δ函数的序列表达形式，例如，令
容易证明该函数序列满足δ函数的定义式（1.2.2）：
并由积分公式[1]，有
令ξ=Nx，则有
现在对式（1.2.17）取导数，有
并注意到
（x）为奇函数，式（1.2.16b）便得证。
对于式（1.2.16d），进一步，令δ（m）（x）=
，则对δ（x）的m阶导数有
式中，f（x）有界且在x=0处至少可微m次。
现在对式（1.2.18b）证明如下。
首先，仿照式（1.2.2）将δ函数定义为普通函数序列的极限，即令δ（x）=
，且gN（x）至少可微m次，并定义
因为式（1.2.18b）中f（x）有界且在x=0处至少可求导m次，于是按照分部积分法，有
由gN（x）与f（x）的性态可知
故
依此类推可得
重复上述过程，最后有
为了证明式（1.2.18c），取检验函数φ（x），可以写出
再由式（1.2.18b），上式可化为
得证。