附  录

附 录

案例1-1-1

《三角形平分线性质》教学实录

【教例】教学目的：

（1）使学生理解三角形内角平分线的性质定理；初步掌握这个定理的应用。

（2）通过对这个问题的探索、变式，进一步培养学生分析问题、解决问题的能力。

教学过程：

（1）承上启下，创设问题情境。

师：请同学们回忆一下平行线分线段成比例定理和它的推论。谁来讲这条定理？

生：三条平行线裁两条直线，截得的四条线段对应成比例。

（教师出示图1，请学生根据图1用式子表示上述定理和推论。根据一名学生的回答，教师板书）

如图，

师：很好！这说明平行线可以分线段成比例。大家想一想，除了平行线之外，是不是还有其他的几何图形能够获得成比例的线段呢？这里有一个等腰三角形ABC（图2），AD是它的顶角平分线。从比的角度上讲AB∶AC=1∶1，BD∶DC=1∶1。显然，等腰三角形顶角的平分线可以分线段与已给两线段成比例。那么对一般三角形来讲，它的内角平分线是否也具备同样的性质呢？这就是今天要研究的课题：三角形的内角平分线能不能分线段与已给两线段成比例？

（学生若有所思，却还无从下手。教师随即布置若干讨论题，作进一步的引导）

师：第一，请大家在等腰三角形的基础上，延长一条边，使AB与AC满足一定的比值，然后看一看这时∠A的平分线使BD与DC之比起怎样的变化？能不能获得成比例线段？第二，在这个例子的启发下，猜想一下，一般三角形内角平分线会有什么性质？请同学们先画图，后想想，看谁能够比较快地得到这个问题的结论。

（学生画图思考，教师巡视，并作进一步引导。如你为什么这样想，能不能证明，有没有别的添辅助线的方法等等。约经3分钟左右，大部分学生都有了满意的结果）

【评析】过去我们上这节课，往往用演绎讲解的方式进行，先讲出三角形内角平分线的性质定理，然后逐步证明。这次上课不是这样，我们从平行线能分线段成比例开始，然后提问学生，还有别的什么几何图形能获得成比例线段？这样，一开始就激起了学生探究新知识的兴趣，提示了本课的探究宗旨。当然这个问题提得比较笼统，选择余地太大，考虑到初中学生的认识特点，我们事先削减了选择支，规定本课尝试探究的方向为三角形的内角平分线能不能分线段与已给两线段成比例。由于拟订了适合学生实际水平的尝试层次，因此课堂上学生参与探究活动的气氛既紧张又热烈，取得了较好的教学效果。

（2）在试探和议论中发现新知识。

师：谁来说一说自己的做法和想法？

生甲：如图3，在等腰三角形AEC中，我先延长一边AE至B，使

AB∶AC=2∶1，这时BD∶DC=2∶1，它们的比值相等。

生乙：我也延长一边AE至B使AB∶AC=3∶1，我想可能有结论：AB∶AC=BD∶DC。

师：请一位同学证明AB∶AC=2∶1时的情况。

生丙：过E作AD的平行线交BC于G。

∵EG∥AD,AE=EB,∴BG=GD。

又∵F是EC的中点，EG∥FD，

∴GD=DC,∴=。

师：这位同学的办法很好，他利用原来的等腰三角形AEC，又在△ABC的内部通过添平行线EG的方法，根据过去学过的平行线等分线段定理可得结论。大家再想一想，能不能在三角形的外部添平行线，同样证得结论？

生丁：如图4，在三角形ABC中，过C作AD的平行线交BA的延长线于E，因为EC∥AD，所以∠1=∠3，∠2=∠4，由于∠1= ∠2，所以∠3= ∠4，于是△AEC是等腰三角形，AC=AE，再利用平行线分线段成比例定理，得到，也就是。

师：对！同学们比较一下，两种证法哪一种比较好？

生（众）：第二种好！

师：为什么？

生：第一种方法比较烦琐，而且只证了特殊比的情况；第二种方法能证一般情况。

（全班学生感到第二种证法既简洁又解决了一般问题，人人面露喜色。此时教师要求学生丁讲一讲他是怎样想出这种方法来的，从中启发学生在学习新知识时要紧密联系已经学过的有关知识。）

师：请学生丁说一说证明步骤。

（教师把详细过程写在黑板上）

已知：△ABC中AD平分∠A交BC于D，

求证：。

证明：过C作AD的平行线交BA的延长线于E，

①∵AD平分∠A，∴∠1=2。∵AD∥EC，∴∠1=∠3，∠2=∠4。∴∠3=∠4，AC=AE。

②∵AD∥EC,∴。

由 ①，② 得。

师：由此可见，三角形的内角平分线确实能够分线段成比例，这就是今天要学习的三角形内角平分线的性质。下面请同学们再动动笔，把这个性质准确地写出来。

（学生试写约两分钟，教师组织学生进行小结）

生甲：三角形的两边与它们夹角的平分线所截得的第三边的两条线段对应成比例。

生乙：三角形中一个角的平分线截它的对边所得的两条线段和另外两边对应成比例。

生丙：……

（教师指出学生叙述中的语病和不准确的地方，然后要求全班学生阅读书本上的叙述：“三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例”）

师：书本上的叙述，用词确切，语句精练。今后我们叙述数学命题时，不仅要注意科学性，还要注意语言的准确和精练。

【评析】通过对具体几何图形的考察，可以促使学生去猜想和发现角平分线性质定理，这样做有利于发挥学生学习的主动性，发展他们的创造性，改变以往那种被动的、单纯听讲的学习方法。数学教学不仅要重视演绎，还要重视探索知识的过程，并把这个过程介绍给学生，特别要让学生自己去进行归纳、类比、联想和论证，逐步通过试探或试验来获得新知识。另外，内角平分线性质定理的证明，需在三角形外部添置辅助线。这有一定难度，但通过对内容的加工组织，从特殊到一般，从有一定基础的内部添线引导到尚未接触过的外部添线，教学效果比较好。

（3）通过变式练习促进深化。

师：下面，我们一起做练习。

在△ABC中，AD平分∠A交BC于D，AB=9cm，BC=10cm，AC=6cm，求BD及DC的长。

生：因为AD平分∠A，根据今天学的性质定理得到。设BD为xcm，那么DC为（10-x）cm，根据条件得方程，解得

x=6，可知BD=6cm，DC=4cm。

师：下列方程可以做吗？

生：可以的。由，用合比定理得也可以解。

师：若在△ABC中加一条角平分线，我们能否获得点新的结果呢？如图5，若在上题△ABC中，添加一条∠C的平分线交AB于E、交AD于F，可以得到哪些比例式？

（学生在图上比例，独立思考，完成以后，同桌的学生相互交流解题结果，共得出4个不同的比例式：）

师：根据上题的已知条件，请同学们编拟一些计算题。

生（众）：求AE、EB的长；求AF、FD的长，求EF、FC的长。

师：下面讨论一下，可不可以求出这些线段的长？

（学生仔细一分析，认为AE、EB的长容易求出，另外的几条线段由于暂时还不会算出AD与CE的长，所以无法求出它们的长度，但学生认为可改编为求AF与FD、EF和FC的比值）

师：好！如果我们再添加一条辅助线，能否得到更多的结果呢？如图6，若在上题中，过E点作AD的平行线交BC边于G，根据前一题的已知条件，能不能求出BG、GC的长？

（学生对此类思考议论题很感兴趣，他们根据前面已经算得的BD=6cm，DC=4cm及等结果，再利用EG∥AD，，很快得出正确的答案）

【评析】这里的练习采用变题、编题等逐渐递进的办法，力图以学生的实际水平为基础，使练习题在思考性方面有合适的坡度，逐步增加创造性因素，经常做这类精心安排好的练习，可使学生对题型与图形结构有较全面的理解，学会举一反三。此外，在变式练习中，教师通过课堂巡视、交谈、提问、分析等手段，可以随时搜集与评定学生的学习情况，以便及时反馈调节，加强教学的针对性，提高课堂的教学效率。正如古人所说的：“学然后知不足；教然后知困。知不足，然后能自反也；知困，然后能自强也。”

（4）把新知识纳入整体结构中去。

师：这节课，第一，我们通过观察、猜想和论证得出了三角形内角平分线的性质：“三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。”第二，这条性质定理在解题时有广泛的应用，这节课我们只是作了一些初步的练习。第三，到现在为止，我们掌握了两条可以获得成比例线段的定理：一是平行线分线段成比例定理；二是三角形内角平分线性质。从图上看（图7），左图是平行线截得4条线段分图是角平分线分对边成比例线段。证明的时候，我们把AC转到AE的位置，AD∥EC，得到的图形与左图完全相同。所以，角平分线性质定理可以直接从平行线性质定理推导出来，学生丁在这节课上就是这样证明角平分线性质定理的。

【评析】最后的小结既点出性质定理的重要性，又采用了首尾呼应的教学手法，把新知识视为平行线分线段成比例定理的推演。教师应当帮助学生掌握不同知识结论在整体中的相互关系以及在知识结构上的统一性，从而使之纳入整个教材所建立起来的知识系统中去。这样做，利于学生对知识的理解和巩固，同时，也使整节课连贯、紧凑、重点突出。

（5）布置作业。

课本练习和习题（略）。

案例1-1-2

扣题设疑，以疑激学

【教例】五年级《狼牙山五壮士》

师：从《狼牙山五壮士》这个课题中，你们知道了什么？

生：知道故事发生的地点和人物。

师：课题中为什么用“壮士”呢？

（课堂上一时无人回答）

师：请大家查字典，看看课文与资料。

生：“壮士”指豪壮而勇敢的人。

师：为什么不用“勇士”？

生：因为“勇士”在“壮士”的定义中已包括，而“壮士”的含义比“勇士”更丰富。

师：为什么不用“烈士”？

生：因为五壮士之中尚有葛振林、宋学义两位战士没有牺牲。

师：五壮士“壮”在哪里呢？

（学生回答不出）

师：现在我们围绕这一问题，一起来学习课文。

【评析】这位教师采取“扣题设疑，以疑激学”的方法，紧扣题中“壮”字这个疑点，提出问题，造成悬念，引导学生抓住文中体现“壮”的语言、动作和心理活动，认真研读，分析探讨，多方品味。

案例1-1-3

交友识字(https://www.daowen.com)

（1）师：第一位新朋友是谁呢？（显示星星闪烁的画面）

生：（快活地）星星（孩子读成xīn）。

师：听听，它在说些什么？

播放配音：小朋友，你们好，我是星娃娃。谁能念好我的名字星（xīng），我就和他交朋友！

生：（学生踊跃地举起小手）星（xīng）。

师：读对啦，你看，星娃娃朝你眨眼睛啦！

生：（很努力地）星（后鼻音过分强调，读音与“香”接近）

师：跟老师念，你能读好的，听清：星（xīng）。

生：（反复念了几遍，终于念准了，看到星星朝自己笑了，脸红红的，也笑了）

师：刚才我们认识的是天上的星，老师常在小朋友的作业本上打一个个红五星，你们还见过哪些星呢？

生：我们的国旗上有五角星（教师指“星”字）。

生：海里有海星。

生：我的名字叫“王佳星”，也有个“星”字。

师：是呀，以后我们都要念准王佳星的名字，一起念一遍。

（2）师：（显示白云涌动的画面），这位朋友是——

生：（齐声）云。

师：小朋友念得真准，请大家仔细看这个“云”字，再闭眼想想，记住它。

师：（指“云”字）你们都见过些什么样的云呀？

生：乌云、白云、彩云……

生：我还从电视里见过蘑菇云。

师：你的课外知识可真丰富！

（3）师：（显示闪电动画）这位就是威力极大的朋友——

生：（惊喜地）电。

师：哪些东西要用到电呢？

生：电视机、电冰箱、电脑、电灯、空调……（教师反复指读“电”字）

（4）师：这位朋友大家最熟悉不过了，就是——

生：风（fēn）。

师：“风”字的读音可要注意，跟老师念“风（fēng）”，我们来开火车念。

（显示情境：风的画面，并配以音乐、风声。随着屏幕上风声、音乐、画面的变化，“风”字颜色、形状不断变化）

师：你们看，柔柔的是——春风，热乎乎的是——夏天的风，凉凉的是——秋风，刺骨的是——西北风，漫天卷地的是——龙卷风（随机纠正“风”字读音）

【评析】：教者重组了教材，运用媒体创设情境，吸引了学生的注意力，有效地导学了重点，突破了难点。

案例1-1-4

“词不离句，句不离篇”

【教例】四年级《麻雀》

教师出示：“它呆立着不动，准备着一场搏斗。”

师：既然老麻雀准备与猎狗搏斗，怎么还“呆立”呢？能否换个更恰当的词？生：将“呆立”换成“直立”。

生：将“呆立”换成“挺立”最恰当。原句变成：“它挺立着不动，准备着一场搏斗。”这样句子前后意思连贯，能表现老麻雀英勇不屈的精神。

师：你分析得也有道理。下面请大家将“呆立”换成“挺立”，再把上下文连起来读一读，然后谈谈你的感受。

（学生自由朗读）

生：老师，我觉得还是用“呆立”好。因为上文写道：“因为紧张，它浑身发抖，发出嘶哑的声音。”写出老麻雀的紧张、害怕，所以它当时不可能“挺立”，只能“呆立”。

生：我也觉得用“呆立”好。因为下文写道：“在它看来，猎狗是个多么庞大的怪物啊！”说明老麻雀在凶猛庞大的猎狗面前是提心吊胆的。如果用“挺立”就显得不真实。

师：那么从出示的这句话中，大家体会到了什么呢？

生：这句话写出老麻雀在猎狗面前紧张害怕的心理。

生：这句话也写出了老麻雀顽强抗争的心理。它站立着不动，并准备着一场搏斗。

生：这句话一方面写出了老麻雀在猎狗面前担惊受怕的内心，另一方面突出了它为救小麻雀而奋不顾身的精神。这句话写得很真实，也很感人。

师：同学们，通过刚才的讨论，我们发现“呆立”一词不仅没有用错，相反用得十分精当。以后大家要记住，只有结合上下文才能全面真切地理解词语的含义。

【评析】“词不离句，句不离篇。”这是理解词句的最基本的方法。换言之，惟有将词句放到具体的语言环境当中，才能准确地体会出它们的确切含义。这也从一个侧面反映了文章中词、句、段、篇之间的内在联系。教例中的“呆立”一词，单从它所在的句子中是体会不出其丰富的内涵的，但是当将其置于具体的语境之中加以审视时，它在表达上的准确性、生动性、鲜明性就显现出来了。此教例也体现了教师的主导作用和学生的主体作用。教师导得巧妙，训练的切入点和层次性都设计得恰当，学生学得很主动，思维活跃，收到了“跳一跳摘果子”的效果。

案例1-1-5

情景合一，激发兴趣

师：同学们，掌握了汉语拼音，就能自己认字了。请大家拼拼读读。

（学生自读，教师指名读）

师：同学们，你们平时是怎样认真写字的？

生：我看清楚字再写。

生：我在田字格里一笔一画写。

生：我坐端正了写。

师：做得真好，难怪你们几个的字写得那么棒！你们知道吗？古时候有个书法家叫怀素，他小时候也跟大家一样写字，可认真啦！今天我们一起来学习一篇写他的课文。（板书怀素，学生读课题）大家想看看他是如何练字的吗？

生（齐）：想！

多媒体动画显示：怀素跪于台前，苦练书法；日出日落，披星戴月，四季变迁；怀素狂草表演。

（教师配画面富有感情地范读课文。画面极富感染力，学生专注投入，显然很受感染）

师：同学们，你们想更具体地了解怀素写字吗？让我们一起来学习课文。

【评析】文章时空遥远，内容也不易使学生产生兴趣，如何激发学生的积极情感，消化不利因素成为关键。教者巧妙地把文本与学生写字的实际联系起来，拉近了距离。多媒体的运用，既创设了良好的情景，为理解课文打下伏笔，又具感染力，使学生受到熏陶，一下子喜欢上了怀素，可谓“文未学，情已生”。

案例1-3-1

认识5角、5分、2角、2分

（电脑出示以上人民币）

师：你们认识这些人民币吗？请你从信封中找出5角、5分、2角、2分，走下去自由选择一位好朋友互相说一说、认一认。

（反馈交流，完成“想想做做”第1题：举出和图中物品价钱相应的人民币）

师：看来同学们学得不错，继续加油哇！老师这儿还有两个题目等着你来解答呢！（电脑出示“试一试”图）：一张1元可以换几张5角？几张2角可以换一张1元？

（学生争着想发言）

师：既然都想说，这样吧，让我们亲自到“小银行”去换一换，好不好？

生：（大声地、高兴地）好！

师：哪些小组愿意开小银行给大家换钱呢？

（学生个个跃跃欲试）

师：这样吧，这儿有唐老鸭银行，米老鼠银行，阿凡提银行，（边说边给指定的组发各个银行的标志牌）请这三个银行的小朋友起立，然后大家互相推选银行工作人员，每组推选3人，选定好后给这些工作人员挂上银行的工作牌。（边说边发工作牌，学生互相推选）剩下的同学就是裁判员，活动时要看清楚自己小组的工作人员换得对不对。请其他3组的同学拿出1元钱，想一想是换5角呢，还是2角？想好了吗？请大家任意选择一个银行换一换！

（学生在音乐声中展开活动）

师：一张1元可以换几张5角？

生：换两张5角。

师：为什么？

生：两张5角就是10角，10角就是1元。（电脑出示校对）

师：几张2角可以换一张1元？

生：五张2角。

师：为什么？

生：五张2角合起来是10角，10角是1元。（电脑出示校对）

师：说得真好！哪个裁判员来说一说自己银行工作人员的工作情况？

【评析】新课程标准指出“数学教学是数学活动的教学”。在这个教学过程中，教者努力挖掘数学的“应用性”，对教材进行了重新整合，设计了模拟“小银行”的换钱活动，打破了传统封闭式的教学过程，构建了生生互动的“开放式”的教学空间，使学生真正成为学习的主人。既培养了学生的合作精神，又培养了学生的实践能力。这一教学形式新颖，富有趣味性，深受学生的喜爱，学生在活动中兴趣盎然，从而对数学学习产生了浓厚的兴趣，学习积极性高，学习效果好。

案例3-1-1

1.创设情境，激发兴趣。

师：公园里正在举行数学游园会，你们想参加吗？（生：想）我们出发吧！

学生随着音乐边表演边唱：走走走走走，我们乘上小汽车。走走走走走，参加游园会。

（课件）售票员说：“小朋友，大家好！只要每组小朋友合作完成一组口算题，就能参加游园会。”

【评析】课首创设情境，学生边表演边唱，既组织了教学，又激发了学生学习兴趣，为全课奠定了轻松愉悦的学习情调。

2.复习铺垫。

各小组长组织本组学生进行口算练习。（一学生口算，其余学生用手势反馈）

9+7= 9+4= 9+8=

9+5=

9+(9+()=12)=11

9+(9+()=18)=15

师：祝贺你们用智慧赢得参加游园会的机会。请小鸟为我们带路，快点儿走吧！……（课件：小鸟从公园门口飞至水果店）

【评析】小组长组织组内学生进行口算练习，培养了小组长的组织能力和组员的合作能力，并提高了练习的实效性。