10.3.3 六角幻方
第10章 幻方
10.1 幻方的应用价值
10.1.1 “填幻方”的价值与思考
“填幻方”让学生把一些数填入幻方,要使所填的数符合幻方的要求,又需要学生不断调试,探究其中的规律.作为注重数学文化教育、培养学生探究精神、增强学生对数学的兴趣而言,是个很好的教学素材.
1.幻方的应用价值
对于幻方在实际生产生活、科学艺术等中的应用,我们教师了解的是比较少的,要介绍这方面的知识,显得有所局限.对于学生来说更是少得可怜,不仅要使他们能探索幻方的填法,把握幻方所蕴含的数学本质,而且还要知道幻方古今的应用价值,实现对幻方奥秘的整体探索、认识.
2.幻方应用于哲理思想
《易经》是一本哲学书,易学家们通过多方面研究发现,易学来源于河图、洛书,而洛书就是三阶幻方.幻方的布局规律、构造原理蕴含着一种概括天地万物的生存结构,是说明宇宙产生和发展的数学模型.
3.幻方的智力开发功能
在算法史上,先有九宫算、后有太乙算、算盘、电子计算机;在游戏的发展史上,先有重排九宫,后有象棋、围棋、华容道游戏等.围棋盘是一个19阶方阵,象棋盘是一个八阶方阵(其将、帅行宫是一个三阶方阵);电脑上的“扫地雷”游戏同九宫图密切相关.
4.幻方应用与美术设计
幻方中的数字按序连起来,可形成一幅幅奇特的“魔方阵构造图”,经色彩处理可获得十分漂亮的美术图案,这种图案具有对称美,并有幻方原理的理性规律.
5.幻方对科学的启迪
河图可看作是二阶幻方的模型,洛书是三阶幻方的模型,由于他们流传甚广,从古到今给人们许多科学的启迪.现在风靡世界的电脑,挖根寻源竟然到幻方领域了.在中国的传统文化中,我们能看到洛书运用与军事、中医、天文、气象、气功等领域的大量资料.在人工智能、图论、对策论、实验设计、工艺美术、电子回路原理、位置解析学、组合数学等方面幻方则有着更广泛的应用.所以到今天为止,幻方仍是组合数学中一个重要的研究课题.
6.幻方的美学价值
幻方是数按照一种规律布局的一种体系,每个幻方不仅是一个智力成就,而且还是一个艺术佳品,具有整齐划一,均衡对称、和谐统一的特性,迸发出耀人的数学美的光辉,具有很高的美学价值,使我们在幻方的欣赏中了解到了数学知识的许多奥妙.
思考:幻方中蕴含着这么重要的数学史和数学发展史,充分挖掘其中所蕴藏的数学思想方法和数学美学.这部分内容有着不可低估的数学文化教育价值.幻方是数学思维训练的素材.填幻方,不仅可以获得数学思维上的训练,而且可以对发散思维、数学思想方法等(数学建模、分类讨论、数形结合、类比猜想、比较归纳等)进行培养.同时也是探究精神培养的素材.对幻方的填法,有的同学在小学就填过,但是填法的规律,以及古代数学家的填法介绍,学生可能知之甚少;填进幻方的数有什么特点呢? 学生不断地调试得出答案后,是偶遇成功,就此作罢,还是进一步思考,激发学生探索能否获得什么规律呢?
10.1.2 幻方迷
幻方
幻方,亦称纵横图.台湾地区将其称为魔术方阵.将自然数1,2,3,…,n2,排列成一个n×n方阵,使得每行上的各数,每列上的各数以及每条对角线上的各数之和都相等,等于n/2×(n×n+1),这样的方阵称为幻方.此和称为幻和.
1.幻方的历史
相传在公元前22世纪大禹治水的时候,在黄河支流洛水中,浮现出一个大乌龟,甲上背有9种花点的图案,人们将图案中的花点数了一下,竟惊奇地发现9种花点数正巧是1～9这9个数,各数位置的排列也相当奇妙,后来人们就称这个图案为洛书(见《河图》《洛书》的图案).《洛书》给出的9个数所排成的方阵具有绝妙的性质,横3行纵3列以及两对角线上各自的数字之和都为15.人们因它的性质之独特而大感兴趣,对其进行了多方面的研究.我国汉朝的一本叫《数术记遗》的书,把它叫“九宫算”,又叫九宫图,宋朝数学家杨辉把类似于“九宫图”的图形叫“纵横图”,国外数学家把它叫作“幻方”.
神秘的数字方阵
我国的纵横图传到欧洲,它的多彩的变幻特征吸引了西方的数学家们,他们对此也很感兴趣,并称纵横图为“幻方”,意为“幻妙的方阵”.著名的数学家欧拉和汉弥尔登,大发明家富兰克林都对幻方有过深入的探讨.在16、17世纪,甚至更晚,构造幻方非常盛行,各种特色的幻方不断诞生,1759年,欧拉发表了独具一格的“马步幻方”,1901年法国数学家里利发明了“平方幻方”,1958年美国数学家霍纳造出了“双重幻方”等.西方研究幻方的热潮,一浪高过一浪.目前,国外已做出的最大幻方,是美国纽约的一位13岁少年所完成的105阶幻方.美国1977年发射的寻求外星文明的宇宙飞船旅行者1号、2号上,除了有向宇宙人致意的问候讯号外,还带有一些图片,这些图片中就有一张是四阶幻方图.这个四阶幻方的构图,同我国的《洛书》一样,也是用不同数量的图点布局成的,而且它又是一个具有多种奇妙性质的四阶幻方,向宇宙人告示了我们地球人的智慧.
10.1.3 奇数阶幻方
1.奇数阶幻方的构造方法
把1,2,3,4,5,6,7,8,9,填入下面的3×3的方格内,使每横行的三个数的和、每竖列的三个数的和、每条对角线上的三个数的和都相等.其和叫幻和.
(1)推理法.
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,45÷3=15(幻和)
根据算式结合图:第一步确定图中中间数;
第二步确定角上数;
第三步补齐其余位置上的数.
法则:5居正中央,偶数角上放,奇数来补齐.
中国古代九宫格的填法口诀是:
九宫之义,法以灵龟,二四为肩,六八为足,左三右七,戴九履一,五居中央.
(2)方程法.
练习
用1～9构造三阶幻方,共有几种?
(3)数字观察法:①按顺序填数;②按顺时针旋转45°.
(4)楼梯法.
填写3阶幻方的口诀:
1居上行正中央,依次斜填切莫忘,上出框界落底格,右出框时靠左放,重复便在下格填,出角重复一个样.
解释为:1居上行正中央——数字1放在首行最中间的格子中;
依次斜填切莫忘——向右上角斜行,依次填入数字;
上出框界往下写——如果右上方向出了上边界,就以出框后的虚拟方格位置为基准,将数字竖直降落至底行对应的格子中;
右出框时左边放——如果向右出了边界,就以出框后的虚拟方格位置为基准,将数字平移至最左列对应的格子中;
重复便在下格填——如果数字{N}右上的格子已被其他数字占领,就将{N+1}填写在{N}下面的格子中;
出角重复一个样——如果朝右上角出界,和“重复便在下格填”的情况做同样处理.
3阶幻方不止这一种填法,只要将1放于四个边格的正中,向幻方外侧依次斜填其余数字;若出边,将数字填在另一侧;若目标格已有数字或出角,回一步填写数字,再继续按一开始的相同方向依次斜填其余数字.
练习
(1)用1～25构造一个5阶幻方;
(2)用1～49构造一个7阶幻方.
10.2 美丽的三阶幻方
我们知道上面的9个数中,每行三个数、每列三个数、每条对角线上的三个数的和都相等.这种布局上的完整奇巧,早已被人称之为均衡美的典范.你哪里知道图中的另一些性质更让人为它的均衡性赞叹,拍手叫绝!
1.对称美
它各行(或各列)的数的平方和也是有规律的,我们看第一行的三个数的平方和与第三行的三个数的平方和:
82+12+62=42+92+22=101 同学们想一想,能想到什么?
2.和谐美
图中各行数的两两组合也很有规律,看下面的等式:
81+35+49=94+53+18(是个回文式),其他规律同学自己思考一下.
3.奇异美
更奇的是每行的第一个数字与第三个数字组成的三个两位数与它们的三个反序数不但和相等,平方和也相等:(https://www.daowen.com)
86+37+42=24+73+68 862+372+422=242+732+682.
每行三个数组成的三个三位数与它们反序的三个三位数,怎样呢?
816+357+492=294+753+618仍是回文式,它们的平方和仍是回文式8162+3572+4922=2942+7532+6182.
4.心里美
以5为中心横、竖、斜分别组成的四个三位数的和与它的反序四个三位数的和也构成回文式.
951+357+258+654=456+852+753+159.
5.轮回美
按顺时针方向,相邻两个角上的数组成的四个两位数的和,与它们反序的四个两位数和构成一个回文式:
86+62+24+48=84+42+26+68.
练习
1.预习偶数阶幻方的填法.
2.将1～9这九个自然数,填在3×3正方形表格内,使其中每一行、每一列、每一条对角线上的三数之和都不等,并且相邻的两个自然数在图中位置也相邻.具有这种特征的幻方称之为反幻方.
10.3 偶数阶幻方的制作方法
10.3.1 双偶阶幻方(对称交换法)
n 为偶数,且能被4整除(n=4,8,12,16,20……)(n=4k,k=1,2,3,4,5……).
先说明一个定义.互补:如果两个数字的和,等于幻方最大数和最小数的和,即n×n+1,称为互补.先看看4阶幻方的填法:将数字从左到右、从上到下按顺序填写:
将对角线上的数字,换成与它互补的数字.这里,n×n+1=4×4+1=17;把1换成17-1=16;把6换成17-6=11;把11换成17-11=6……换完后就是一个四阶幻方.
对于n=4k 阶幻方,我们先把数字按顺序填写.写好后,按4×4把它划分成k×k 个方阵.因为n 是4的倍数,一定能用4×4的小方阵分割.然后把每个小方阵的对角线,像制作4阶幻方的方法一样,对角线上的数字换成互补的数字,就构成幻方.
10.3.2 单偶阶幻方(斯特雷奇RalphStrachey法)
n 为偶数,且不能被4整除(n=6,10,14,18,22……)(n=4k+2,k=1,2,3,4,5……)
这是三种里面最复杂的幻方.
以n=10为例,10=4×2+2,这时k=2.
(1)把方阵分为A,B,C,D 四个象限,这样每一个象限肯定是奇数阶.用楼梯法,依次在A 象限,D 象限,B 象限,C 象限按奇数阶幻方的填法填数.
(2)在A 象限的中间行、中间格开始,按自左向右的方向,标出k 格.A 象限的其他行则标出最左边的k 格.将这些格和C 象限相对位置上的数,互换位置.
(3)在B 象限任一行的中间格,自右向左,标出k-1列.(注:6阶幻方由于k-1=0,所以不用再作B、D 象限的数据交换),将B象限标出的这些数,和D 象限相对位置上的数进行交换,就形成幻方.
下面是6阶幻方的填法:6=4×1+2,这时k=1.
看起来很麻烦,其实掌握了方法就很简单了.
练习
1.用1～121构造一个11阶幻方.
2.用3～66构造一个8阶幻方.
3.用11～111构造一个10阶幻方.
10.3.3 六角幻方
20世纪初,有一位名叫亚当斯的铁路公司阅览室青年职员,他对幻方很感兴趣,但是,他遇到的许许多多幻方都是正方形的.便产生了一种疑问:会不会有其他形状的幻方呢? 他对六角幻方产生了兴趣.他要排出六角幻方.
他知道一层六角幻方(把1到7这7个数填入如图1所示的圆圈内,使得任一条直线上的数字之和都等于同一个数)根本不存在,因而把注意力集中在由19个数组成的两层六角幻方上.他一有空闲时间,便在纸上或地上画两层六角图(如图2),再把上面写有1到19这19个数的硬纸板在图上摆来摆去.就这样,一天又一天,一年又一年,从1910 年到1957年,漫长的47个春秋过去了,他整整用了47年的时间也没排出双层六角幻方.面对无数次的失败与挫折,阿当斯的兴趣依然不减.有一次,他在病床上摆弄19块小纸片,无意之中竟然摆成了六角幻方! 面对这耗费他几乎一生业余时间得来的成果,激动的心情无以言表,他急忙下床把这个幻方记录下来.他心理高兴,病就好得快,没过几天亚当斯就病愈出院了.然而,在回家的途中,他糊里糊涂的竟把19块小纸片和记录的纸片一起都丢了,之后他怎么回忆也未能回忆起来.这真是太可惜了!
图1
已经排了47年六角幻方的亚当斯并没有灰心,又继续研究,又用了5年的时间,终于在1962年12月的一天,他突然再一次排出来了两层六角幻方(图3).
这时已经是白发苍苍老头的亚当斯热泪盈眶.他排出的这个两层六角幻方,图形有个奇特的性质,就是横的五行及斜的十行上各自数字的和都是38.
图2
图3
亚当斯对于耗费自己毕生心血而得来的六角幻方视如珍宝,立刻把这个宝贝似的六角幻方寄给了幻方专家马丁·加德纳.然而马丁·加德纳从没有排过六角幻方,面对这巧夺天工的珍宝,马丁·加德纳博士顿感到眼界大开,于是他就提笔给才华出众的数学游戏专家特里格写信.特里格惊奇万分并十分赞赏亚当斯的开创性工作,他又这样想,正方形幻方有三阶、四阶、五阶…….六角幻方会不会有两层、三层、四层……的呢? 于是他决心在亚当斯六角幻方的基础上,对层数做出突破.他经过反复研究,终于惊奇地发现:两层以上的六角幻方根本不存在.这就是说,普通的幻方可能有千千万万种排法,但六角幻方却只能有亚当斯排出的这一个.
后来,滑铁卢大学二年级学生阿莱尔对特里格的结论作了简单而又巧妙的证明.阿莱尔把六角幻方的可能选择输入电子计算机测试,结果用了17秒时间,得出了与亚当斯用52年算出的完全相同的结果,证明了亚当斯结果在数学上的唯一性.
六角幻方的12种形式:
【阅读与欣赏】
当代几何大师——陈省身
一、青年俊才
陈省身(1911—2004年),出生在浙江嘉兴的一个知识分子家庭.9岁考入秀洲中学预科一年级,这时他已能做出相当复杂的数学题.1922年秋,父亲到天津法院任职,陈省身全家迁往天津.第二年,他进入离家较近的扶轮中学.陈省身在班上年纪虽小,却充分显露出他在数学方面的才华.15岁考入南开大学本科研修数学.数学系主任姜立夫(1890—1978年)对陈省身的影响很大.姜立夫人格高尚,教学严谨,循循善诱,使人感到学习数学有无限的兴趣和前途.陈省身当时是全校闻名的少年才子,高年级同学遇到问题都要向他请教,他也非常乐于帮助别人.
1930年,陈省身从南开大学毕业,到清华大学任助教并就读清华大学研究生,随美国芝加哥大学毕业的孙光远先生研究摄影微分几何.在清华学习期间,他先后发表三篇论文.
微分几何有三百年的历史,出发点是微积分在几何上的应用.其正确的方向是所谓“大型微分几何”,即研究微分流形上的几何性质.它与拓扑学有密切关系,对这方面的系统研究那时才刚开始.这是陈省身在清华时始终憧憬着的方向,但未曾入门.陈省身说:“那时的心情,就像是远望着一座美丽的高山,还不知如何攀登.”
1934年,陈省身从清华大学研究生院硕士毕业后,取得公费留学资格,动身去德国汉堡大学攻读博士学位,两年后即获得了博士学位.
二、几何大师
当代几何大师陈省身
在陈省身获得博士学位之后,1936年,又前往法国巴黎拜当时最伟大的几何学家嘉当(E.J.Cartan,1869—1951年)为师,跟随嘉当10个月,受益终身.嘉当每礼拜四下午是办公时间,因为有很多学生,所以要见他就必须在办公室前排队.最初,陈省身也需要排队.后来由于嘉当给的题目,陈省身大部分都会做,于是嘉当便改在家里每周见他一次.在此期间陈省身共发表了三篇论文,但工作范围远远超出这些论文的内容.
从法国回国后,陈省身一直任教于西南联合大学,直到1943年,陈省身接受邀请前往美国普林斯顿高级研究所从事数学研究,这一年,他完成了《关于高斯博内公式的简单内蕴证明》,这篇论文被誉为数学史上划时代的论文,这是陈省身一生中最重要的数学工作,因此,他后来被国际数学界尊称为“微分几何之父”.如果说陈省身在清华时期是遥望着微分几何那座山,那么现在则是攀登上了山的顶峰.
留美30 年,陈省身获得了极高的学术声誉.1975年他荣获了美国科技最高奖——国家科学奖章,1984年他又荣获了国际数学界最高奖——沃尔夫奖,这一年5 月以色列总统亲自向陈省身教授颁奖,以表彰他一生的数学工作,特别是他在整体微分几何方面的杰出贡献.奖状评语这样说“此奖授予陈省身,因为他在整体微分几何上的卓越贡献,其影响遍及整个数学界”.陈省身是迄今为止唯一荣获此项殊荣的华人.
陈省身(1911—2004年)
三、宏伟愿望
1946年,为了使中国成为数学强国,陈省身回国,并在中央研究院培养了许多优秀学生,其中就有国家最高科技奖获得者——吴文俊(1919—)院士,1947年吴文俊赴法国留学,钻研代数拓扑学,期间提出了后来以他的名字命名的“吴示性类”和“吴公式”,有力地推动了示性类理论与代数拓扑学的发展.吴文俊还在代数几何、博弈论及数学机械化等许多领域做出重要贡献.1948年陈省身应邀再度赴美,1949年担任芝加哥大学教授.1960年起在加州大学佰克利分校工作.培养了31名博士生,其中最著名的是丘成桐(1949—).丘成桐的工作很广泛,其中最有影响且最重要的工作是关于“卡拉比猜想”的证明.这一成功,促使一大批同类方程得到解决,成果累累,取得了代数几何、复解析几何学、微分几何等领域的一系列定理.他于1982年获得数学界的另一最高奖项——菲尔兹奖,成为菲尔兹获奖得主中第一位中国人.
1972年,陈省身开始每年回国访问讲学,从此,他把自己的后半生与中国的数学事业的发展紧密的联系在一起.1985年他提出了“21世纪中国成为数学大国”的响亮口号(有人称之为“陈省身猜想”),并身体力行,把获沃尔夫奖的5万美元奖金全部捐出,用于创建南开大学数学研究所,致力于培养中国数学高级人才.20世纪90年代,陈省身和他的学生丘成桐、吴文俊向中央倡议申办国际数学大会,并为此做了大量卓有成效的幕后工作.2002年8月,四年一届的国际数学家大会在北京成功举办,来自全球的4000多位杰出的数学家参加了这次盛会,91岁高龄的陈省身担任了本届大会的名誉主席,他高兴地对新闻界说:“中国已经是数学大国,下一步目标是做数学强国。”他一再论证,21世纪中国建成数学大国是有充分理由的,因为中国人的数学才能无需讨论.
2000年,89岁高龄的陈省身叶落归根,定居于南开大学,第二年他还率先垂范,以90高龄为南开本科生讲授微积分基础课.他深入浅出地引导同学们去领略数学的神奇与快乐.2004年12月,陈省身在南开走完了他的数学人生,国际数学界的一颗巨星陨落了,但是他的精神仍然鼓舞着我们攀登数学高峰,实现他数学强国的梦想!
