三、典型例题
题型Ⅰ 利用古典概率的计算方法及运算法则求事件{X=k}的概率（即离散型随机变量X的分布列），并进一步求X的分布函数
例2.1 一台设备由三大部件构成，在设备运转中各部件要调整的概率分别为0.1，0.2，0.3，假设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，试求：（1）X的分布列；（2）X的分布函数F（x）；（3）P（X=2.5）；P（X≤1）；P（1＜X＜3）.
解 设事件Ai={部件i需要调整}（i=1，2，3），由题设知
题型Ⅱ 讨论常见的离散型随机变量的分布
例2.2 某公司生产某种产品300件.根据历史生产记录知该种产品的废品率为0.01.问这300件产品中废品数大于5的概率是多少？
解 将检验每件产品看作一次伯努利试验，它有两个可能的结果：A={正品}
={废品}，那么检验300件产品就是做300次独立的伯努利试验.用X表示检验的废品数，则X～B（300，0.01），故300件产品中废品数大于5的概率为P（X＞5）=
·0.01k·0.99300-k，由于n较大，p较小时，二项分布近似于泊松分布，且λ=np=300×0.01=3，因此有
查泊松分布表知P（X＞5）=P（X≥6）≈0.0839.
题型Ⅲ 有关随机变量的分布函数的计算
例2.3 设随机变量X的绝对值不大于1，且P（X=-1）=
，P（X=1）=
，在事件{-1＜X＜1}出现的条件下，X在（-1，1）内的任一子区间上取得的条件概率与该子区间的长度成正比，求X的分布函数.
（3）当x≥1时，F（x）=P（X≤x）=1.
因此，得到
题型Ⅳ 已知含待定系数的连续型随机变量的概率密度函数，求待定系数的值并求其分布函数
例2.4 设X是连续型随机变量，已知X的概率密度函数为
（1）求常数A；
（2）求X的分布函数；
（3）求P（X＞1）.
解 （1）由概率密度的性质得
故A=20.
因此，X的分布函数为
题型Ⅴ 已知含待定系数的连续型随机变量的分布函数，求待定系数的值并求其概率密度函数
例2.5 设X是连续型随机变量，已知X的分布函数为
（1）求常数A，B的值；
（2）求P（-1≤X≤1）；
（3）求X的概率密度函数.(https://www.daowen.com)
解 （1）由分布函数的性质F（+∞）=1得
题型Ⅵ 讨论常见的连续型随机变量的概率分布问题
例2.6 设X～N（-1，4），试求：
例2.7 设随机变量X，Y均服从正态分布：X～N（μ，42），Y～N（μ，52）.又设p1=P（X≤μ-4），p2=P（Y≥μ+5），证明：p1=p2.
例2.8 假设一电路装有三个同种电气元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为λ（λ＞0）的指数分布.当三个元件都无故障时，电路工作正常，否则整个电路不能正常工作，试求电路正常工作的时间T的概率分布.
解 设Xk（k=1，2，3）表示第k个电子元件正常工作的时间.由题设知，X1，X2，X3相互独立且同分布，其分布函数为
设G（t）为T的分布函数，则当t≤0时，G（t）=0；当t＞0时，
故T服从参数为3λ的指数分布.
题型Ⅶ 离散型随机变量和连续型随机变量的概率分布的综合运用问题
例2.9 某种型号的电灯泡使用时间（单位：小时）为一随机变量X，X的概率密度函数为
试求：3个这种型号的灯泡使用了1000小时后至少有2个仍可继续使用的概率.
解 每一个该型号的灯泡使用寿命超过1000小时的概率为
设Y表示3个灯泡中使用寿命超过1000小时的个数，则Y服从二项分布，即Y～B（3，0.82），故所求概率为
题型Ⅷ 已知随机变量的分布，讨论随机变量函数的分布
例2.10 设X～f（x）=
又Y=lnX，试求Y的概率密度函数.
解 设fY（y）是Y的概率密度函数，FY（y）是Y的分布函数.
（1）先求随机变量Y的分布函数FY（y）：
例2.11 设随机变量X服从指数分布，讨论随机变量Y=min{X，2}的分布函数有几个间断点.
解 设FY（y）是Y的分布函数，FX（x）为X的分布函数.
先求随机变量Y的分布函数FY（y）：
因为
（1-e-λy）=1-e-2λ≠1=FY（2），从而FY（y）仅在y=2处间断，故随机变量Y=min{X，2}的分布函数仅有一个间断点.
