三、典型例题
题型Ⅰ 求二维离散型随机变量的联合分布列、边缘分布列及判断两个分量的独立性
例3.1 两封信随机地投入四个邮筒，用X，Y分别表示前两个邮筒内信的数目，求二维随机变量（X，Y）的联合分布及边缘分布，并判断X与Y是否独立.
解 由题设知X，Y的可能取值为0，1，2，且
（X，Y）的联合分布及边缘分布如表3.1所示.
表3.1
由p11=P（X=0，Y=0）=
得X与Y不独立.
题型Ⅱ 利用独立性确定概率分布中的待定系数
例3.2 设二维离散型随机变量（X，Y）联合分布列如表3.2所示.
表3.2
问α，β为何值时，X与Y相否独立？
解 由题设知（X，Y）关于X和Y的边缘分布分别如表3.3和表3.4所示.
表3.3
表3.4
若X与Y相互独立，则必有pij=pi.·p.j成立，又因待定常数只有两个，故只需建立两个方程，且最好是建立仅含一个待定常数的方程，因此由
成立.即当
时，X与Y相互独立.
题型Ⅲ 求二维连续型随机变量的边缘密度并判断两个分量的独立性
例3.3 设二维随机变量（X，Y）的联合概率密度为
（1）求（X，Y）关于X，Y的边缘概率密度函数；（2）判断X与Y是否独立；（3）求（X，Y）的联合分布函数F（x，y）.
解 （1）由题设得到关于X的边缘概率密度函数为
同理可求得关于Y的边缘概率密度函数为
（2）可验证f（x，y）=fX（x）fY（y），故X与Y相互独立.
（3）当x＜0或y＜0时，f（u，v）=0，
综上所述，（X，Y）的联合分布函数为
题型Ⅳ 求二维连续型随机变量落入平面区域的概率
例3.4 设二维随机变量（X，Y）的联合概率密度函数为
求（1）常数k；（2）（X，Y）落在圆域x2+y2≤a2（a＜R）内的概率.
解 （1）由
题型Ⅴ 求二维连续型随机变量的分布函数
例3.5 设二维随机变量（X，Y）的联合概率密度函数为
其中D是由x=0，y=0及x+y=1所围成的三角形区域，求（X，Y）的分布函数.
解 由于f（x，y）是分区域给出，F（x，y）也需要分区域计算.为计算方便，将f（x，y）的非零取值表示在图3.1（a）中，过f（x，y）取值非零的三角形各顶点（边界交点）分别作平行于x轴和y轴的直线，将平面分成七个区域：
(1)x≤0;
(2)y≤0;
(3)0≤x＜1,0≤y＜1,x+y≤1;
(4)0＜x≤1,0＜y≤1,x+y＞1;
(5)x＞1,0≤y≤1;
(6)0≤x＜1,y＞1;
(7)x＞1,y＞1.
下面对上述七个区域分别求出F（x，y）的表达式，为此需要在f（x，y）取值非零的区域D与
中的积分区域的交集上计算二重积分.
图3.1
即（X，Y）的分布函数为
题型Ⅵ 讨论常见的二维连续型随机变量的概率分布问题及二维随机变量的条件分布问题
例3.6 设二维随机变量（X，Y）的联合概率密度函数为
讨论X，Y是否独立.
解 由题设知(https://www.daowen.com)
其中ρ=0，而X与Y相互独立的充分必要条件为ρ=0，故X与Y相互独立.
题型Ⅶ 求二维随机变量的条件分布问题
例3.7 将某一制药公司8月份和9月份收到的青霉素针剂的订货单数分别记为X和Y.据以往的资料知X和Y的联合分布律如表3.5所示。
表3.5
（1）求边缘分布律；
（2）求8月份的订单数为51时，9月份订单数的条件分布律.
解 （1）X的边缘分布律如表3.6所示.
表3.6
Y的边缘分布律如表3.7所示.
表3.7
（2）P（Y=k|X=51）=
，故条件分布律如表3.8所示.
表3.8
例3.8 设二维随机变量（X，Y）在圆域D={（x，y）|x2+y2≤1}上服从均匀分布，求其条件概率密度函数.
解 由题设知
又（X，Y）关于X的边缘概率密度为
同理可求得（X，Y）关于Y的边缘概率密度为
故当-1≤y≤1时，在Y=y条件下X的条件概率密度函数为
当-1≤x≤1时，在X=x条件下Y的条件概率密度函数为
题型Ⅷ 求二维随机变量函数的分布
例3.9 设二维随机变量（X，Y）的联合概率密度函数为
求Z=X+Y的概率密度函数.
解 方法一：由题设知Z=X+Y的概率密度函数为
又f（x，z-x）中的自变量必须满足：
如图3.2阴影部分所示时，有f（x，z-x）=1，否则f（x，zx）=0.因此有
整理得到
方法二：先求z的分布函数
如图3.3所示.
图3.2
图3.3
因此Z=X+Y的概率密度函数为
例3.10 某电子仪器由四个相互独立的电子部件Lij组成，组成方式如图3.4所示，已知每个电子部件的使用寿命Xij（i，j=1，2）都服从参数为λ的指数分布，求电子仪器的使用寿命Z的概率密度函数.
图3.4
解 由于Xij（i，j=1，2）都服从参数为λ的指数分布，故其分布函数为
下面先求两个串联组的使用寿命Yi（i=1，2）的分布函数，因为在串联时，只要
中任何一个部件损坏，其串联组就停止工作，故第i个串联组的使用寿命为Yi=min（
）（i=1，2），其分布函数为
由于并联时只有当两个串联组都损坏时，仪器才停止工作，所以电子仪器的使用寿命为
而其分布函数为
于是Z的概率密度函数为
