四、考研真题
1.（2006年数学三）设随机变量X与Y相互独立，且服从[0，3]上的均匀分布，则P{max（X，Y）≤1}=________.
解 随机变量X，Y的概率密度函数为
2.（2006年数学三）设随机变量X的概率密度函数为
令Y=X2，F（x，y）为二维随机变量（X，Y）的分布函数，求：
（1）Y的概率密度函数fY（y）；
(2)F(-
,4);
(3)Cov(X,Y).
解 （1）Y的分布函数为FY（y）=P（Y≤y）=P（X2≤y），故
当y＜0时，FY（y）=0；
故Y的概率密度函数为
3.（2008年数学三）设随机变量X和Y相互独立且同分布，X的分布函数为F（x），则Z=max{X，Y}的分布函数为（ ）.
故应选（A）.
4.（2008年数学三）设随机变量X和Y相互独立，X的概率分布为P（X=i）=
（i=-1，0，1），Y的概率密度为
记Z=X+Y，求：
（2）设Z的分布函数为F（z），则
当z＜-1时，F（z）=0；
当-1≤z≤2时，有
所以Z的概率密度函数为
5.（2009年数学三）袋中有一个红色球，两个黑色球，三个白色球，现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以X，Y，Z分别表示两次取出的红色、黑色、白色球的个数.求（1）P（X=1
Z=0）；（2）求二维随机变量（X，Y）的概率分布.
解 事件“X=1
Z=0”表示“在没有取到白色球的情况下，取到一次红色球”，利用缩减的样本空间，相当于“只有1个红色球，2个黑色球有放回地取两次，其中取到1个红色球”，所以
即二维随机变量（X，Y）的联合概率分布列如表3.9所示.
表3.9
6.（2009年数学三）设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
又（X，Y）关于Y的边缘概率密度函数为
即Y服从参数为1的指数分布，故P（Y≤1）=F（1）=1-e-1.
7.（2009年数学三）设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N（0，1），Y的概率分布为P（Y=0）=P（Y=1）=
，记FZ（z）为随机变量Z=XY的分布函数，则FZ（z）的间断点个数为（ ）.
所以z=0为FZ（z）的间断点，因而选（B）.
8.（2011年数学一）设随机变量的概率分布分别如表3.10和表3.11所示.
表3.10
表3.11
且P（X2=Y2）=1.
（1）求二维随机变量（X，Y）的概率分布；
（2）求Z=XY的概率分布；
（3）求X与Y的相关系数ρXY.
解 （1）由P（X2=Y2）=1，则P（X2≠Y2）=0.即
P(X=0,Y=1)=P(X=0,Y=-1)=P(X=1,Y=0)=0;
P(X=1,Y=1)=P(X=0,Y=0)=P(X=1,Y=-1)=
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故二维随机变量（X，Y）的联合概率分布列如表3.12所示.
表3.12
（2）Z=XY的取值为-1，0，1，则
所以Z=XY的概率分布如表3.13所示.
表3.13
(3)E(X)=
,E(Y)=0,E(XY)=0,Cov(X,Y)=0,ρXY=0.
9.（2011年数学三）随机变量（X，Y）在G上服从均匀分布，G由x-y=0，x+y=2与y=0围成.
（1）求二维随机变量（X，Y）的边缘概率密度函数fX（x）；
（2）求
解 （1）区域G的面积为S，则S=
×2×1=1，从而（X，Y）的联合概率密度为
（X，Y）关于X的边缘概率密度函数为
（2）（X，Y）关于Y的边缘概率密度函数为
10.（2012年数学一）设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为1与参数为4的指数分布，则P（X＜Y）=（ ）.
解 由题设知（X，Y）的联合概率密度函数为
故选（A）.
11.（2012年数学一）设二维随机变量（X，Y）的联合概率分布列如表3.14所示.
表3.14
又由题设知X，Y，XY的概率分布列分别如表3.15、表3.16、表3.17所示.
表3.15
表3.16
表3.17
12.（2012年数学三）设随机变量X与Y相互独立，且均服从参数为1的指数分布，V=min（X，Y），U=max（X，Y），求（1）随机变量V的概率密度函数；（2）E（U+V）.
解 （1）由题设知X的分布函数为
则由V=min（X，Y）知V的分布函数为
故随机变量V的概率密度函数为
（2）由U=max（X，Y）知U的分布函数为
故随机变量V的概率密度函数为
13.（2013年数学三）设随机变量X和Y相互独立，且X和Y的概率分布分别如表3.18和表3.19所示.
表3.18
表3.19
故选（C）.
14.（2015年数学一）设二维随机变量（X，Y）服从正态分布N（1，0，1，1，0），则P（XY-Y＜0）=________.
解 由题设知X～N（1，1），Y～N（0，1），而且X、Y相互独立，从而
