二、释难解惑

1.为什么要了解随机变量的数字特征？

答对于各种各样的随机变量，如果知道了分布函数，那就相当于掌握了它们的全部变化规律.但要得到一个随机变量的分布函数并非容易的事情，也往往是不必要的，通常只需要了解随机变量的某几个数量指标就可以了，这些指标就是概率论中随机变量的数字特征.一方面，它们比较简单易求；另一方面，它们已经足够满足解决实际问题的需要.

2.在数学期望定义中，为什么要求级数和积分绝对收敛？

答随机变量取值是随机的，不一定按次序的，因此，在求和的时候，可能要改变项的次序，而数学期望存在，则要求是唯一的.这就要求级数的项改变次序而其和不变，要满足这一要求，级数必须绝对收敛.积分是一个积分和式的极限，因而也要求绝对收敛.

3.数学期望与方差的区别与联系如何？

答数学期望E（X）又称均值，是反映随机变量X平均值的量，常用于比较两个或多个量的优劣、大小、长短等.方差D（X）是刻画X取值分散程度的一个量，表达了X的取值与其数学期望的偏离程度.若X取值较集中，则D（X）较小；若X取值较分散，则D（X）较大.方差D（X）实际就是[X-E（X）]2的数学期望.

4.协方差和相关系数反映了随机变量X与Y之间的什么样的关系？

答当给定两个随机变量X和Y时，我们必然会考虑它们之间是否存在某种关系，如当X，Y相互独立时，有D（X+Y）=D（X）+D（Y）.

一般情况下，D（X+Y）=D（X）+D（Y）+2E{[X-E（X）][YE（Y）]}，因而量E{[X-E（X）][Y-E（Y）]}≠0反映了X，Y不相互独立，而存在某种相依关系的事实，将其定义为协方差.

当D（X），D（Y）不变时，ρXY=反映了X和Y联系的密切程度：当=1时，X和Y之间存在线性关系Y=aX+b的概率为1；ρXY=0时，X和Y不存在线性关系，不排除其他的联系.

5.两个随机变量不相关和相互独立的关系是什么？

答若随机变量X，Y相互独立，则相关系数ρXY=0，即X与Y不相关；反之不一定成立.但若X和Y服从二维正态分布N（μ1，μ2，，则相互独立与不相关等价.即X，Y相互独立⇔ρXY=ρ=0.

6.切比雪夫不等式的主要应用有哪些？

答切比雪夫不等式有两种等价的表达式：.它反映了随机变量在期望的ε邻域的概率不小于.如果随机变量的分布不知道，只要知道其期望和方差，我们就可以利用切比雪夫不等式估计概率.

它的主要应用有以下两方面：

应用一估计随机变量落入有限区域的概率.

估计随机变量X落入（a，b）内的概率的步骤：(https://www.daowen.com)

（1）选择随机变量X；

（2）求出E（X），D（X）；

（3）将P（a≤X≤b）改写成P（X-E（X）＜ε）的形式，确定ε；

（4）利用切比雪夫不等式进行估计.

应用二求解或证明有关概率不等式.

例如，已知D（X）及α（0＜α＜1），解不等式.估计ε，使.求解步骤：

（1）若事件不是的形式，将其改写为所需形式；

（2）求出D（X）；

（3）求出不等式1-，得到.

7.棣莫弗-拉普拉斯（DeMoivre-Laplace）中心极限定理的应用有哪些？

答应用一：近似计算服从二项式的随机变量取值的概率.当n较大且p不太接近于0或1（0.1≤p≤0.9，），特别当p为0.5时，一般选用棣莫弗-拉普拉斯（DeMoivre-Laplace）中心极限定理近似估算二项式的概率.

应用二：已知服从二项分布的随机变量在某范围内取值的概率，估计该范围.

应用三：用频率估计与概率有关的二项分布的近似计算.

8.同分布的中心极限定理有哪些应用？

答应用一：求随机变量之和Sn的概率.步骤：首先构造一串（比如几个）独立同分布且期望与方差（或标准差）已知的随机变量；其次要将所求事件的概率化为这一串随机变量之和（Sn）在某一范围内取值的概率；最后利用同分布的中心极限定理求之.

应用二：已知Sn取值的概率，求随机变量的个数n.其求法为：应用同分布中心极限定理将所给概率转化成一个与n有关的标准正态分布函数Φ（a（n）），通过查表求a（n），再解出a（n）中所含n.