四、考研真题
1.（2004年数学一、四）设随机变量X1，X2，…，Xn（n＞1）相互独立且同分布，且其方差σ2＞0，令Y=
，则（ ）.
2.（2004年数学一、三、四）设随机变量X服从参数为λ的指数分布，则P（X＞
=________.
解 由题设知，X的概率密度为
3.（2005年数学一）设X1，X2，…，Xn（n＞2）为来自总体N（0，1）的简单随机样本，
为样本均值，记Yi=Xi-
（i=1，2，…，n），求：
（1）Yi的方差D（Yi）（i=1，2，…，n）；
（2）Y1与Yn的协方差Cov（Y1，Yn）.
解法一 根据简单随机样本的性质，X1，X2，…，Xn相互独立，且都服从分布N（0，1），E（Xi）=0，D（Xi）=1（i=1，2，…，n）.
（2）因X1，X2，…，Xn相互独立，而独立的两个随机变量协方差等于零，于是有
注：①本题考查简单随机变量的性质与数字特征的性质，应用的主要结论有：
ⅰ.若X1，X2，…，Xn是简单随机样本，则X1，X2，…，Xn相互独立且与总体X同分布；
ⅱ.若随机变量X的期望为零，则D（X）=E（X2）；
故应选（C）.
7.（2009年数学三）设X1，X2，…，Xn是来自二项分布总体B（n，p）的简单随机样本，¯X和S2分别为样本均值和样本方差，记统计量T=
-S2，则E（T）=________.
解 E（T）=E（
-S2）=E（
）-E（S2）=np-np（1-p）=np2.即答案为np2.
8.（2010年数学三）设X1，X2，…，Xn为来自整体N（μ，σ2）（σ＞0）的简单随机样本，统计量T=
，则E（T）=________.
9.（2010年数学三）箱内有6个球，其中红、白、黑球的个数分别为1，2，3个；现从箱中随机的取出2个球，设X为取出的红球个数，Y为取出的白球个数，求
（1）随机变量（X，Y）的概率分布；
(2)Cov(X,Y).
解 （1）随机变量（X，Y）的概率分布如表4.10所示.
表4.10
所以，C=e-1.即随机变量X服从参数为1的泊松分布，于是D（X）=E（X）=1，故
11.（2011年数学一）设随机变量X与Y相互独立，且E（X）与E（Y）存在，记U=max（X，Y），V=min（X，Y），则E（UV）=（ ）.
(A)E(U)E(V) (B)E(X)E(Y)
(C)E(U)E(Y) (D)E(X)E(V)
解 当X＜Y时，U=Y，V=X；当X＞Y时，U=X，V=Y；当X=Y时，U=V，所以UV=XY，于是E（UV）=E（XY）.
又因为X与Y相互独立，所以
故应选（B）.
12.（2011年数学三）设二维随机变量（X，Y）服从N（μ，μ，σ2，σ2，0），则E（XY2）=________.
解 由（X，Y）服从二维正态分布，且ρ=ρXY=0，则X，Y相互独立，因此
故答案为μ（σ2+μ2）.
13.（2012年数学一）将长度为1m的木棒随机地截成两段，则两段长度的相关系数为（ ）.
解 设X，Y分别为所截成两段木棒的长度，则由题意得P（X+Y）=1，即P（Y=-X+1）=1，从而X与Y处处线性负相关，故它们的相关系数为-1.
故应选（D）.
14.（2012年数学三）设二维离散型随机变量X，Y的概率分布如表4.11所示.
表4.11
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（2）X的概率分布如表4.12所示.
表4.12
XY的概率分布如表4.13所示.
表4.13
15.（2013年数学三）设随机变量X服从标准正态分布X～N（0，1），则E（Xe2X）=___________.
解 标准正态分布的概率密度为
故答案为2e2.
16.（2014年数学一）设连续型随机变量X1与X2相互独立，且方差均存在，X1与X2的概率密度分别为f1（x）与f2（x），随机变量Y1的概率密度为fY1（y）=
[f1（y）+f2（y）]，随机变量Y2=
（X1+X2），则（ ）.
17.（2014年数学一、三）设随机变量X的概率分布为P（X=1）=P（X=2）=
，在给定X=i的条件下，随机变量Y服从均匀分布U（0，i）（i=1，2）.（1）求Y的分布函数FY（y）；（2）求E（Y）.
解 （1）参见第二章考研真题8.
18.（2014年数学三）设随机变量X，Y的概率分布相同，X的概率分布为P（X=0）=
，P（X=1）=
，且X与Y的相关系数ρXY=
，（1）求（X，Y）的概率分布；（2）求P（X+Y≤1）.
（X，Y）的概率分布如表4.14所示.
表4.14
19.（2014年数学农）设随机变量X的分布如表4.15所示.
表4.15
则D（X-0.7）=________.
解 D（X-0.7）=D（X）=E（X2）-[E（X）]2，而E（X2）=1.4，E（X）=0，则D（X-0.7）=1.4.故答案为1.4.
20.（2014年数学农）设随机变量X的概率密度
（1）求Y的概率分布；
（2）求Cov（X，Y）.
21.（2014年数学农）设二维随机变量（X，Y）服从D上的均匀分布，其中D是由直线y=x和曲线y=x2围成的平面区域.
（1）求X和Y的边缘概率密度fX（x）和fY（y）；
（2）求E（XY）.
23.（2015年数学一）设随机变量X的概率密度为
对X进行独立重复的观测，且到2个大于3的观测值出现时停止，记Y为观测次数，（1）求Y的概率分布；（2）求E（Y）.
解 （1）参见第二章考研真题9.
24.（2015年数学农）设二维离散型随机变量（X，Y）的概率分布如表4.16所示.
表4.16
且E（Y）=
.
（1）求常数a，b；
（2）求X与Y的相关系数.
