三、典型例题
题型Ⅰ 求一维离散型随机变量及其函数的数学期望和方差
例4.1 已知X的分布律如表4.1所示.
表4.1
例4.2 设随机变量的X的分布律为
例4.3 设有n个球和n个盒子，它们各编有序号1，2，…，n.现随机地将球分放在盒子中，每个盒子中一个.问两个序号恰好一致的数对个数的期望值是多少？
解 设X为两个序号一致的数对个数，Xi（i=1，2，…，n）表示
故两个序号恰好一致的数对个数的期望值为1（与n无关！）.
例4.4 某银行开展定期定额有奖储蓄，定期一年，定额1000元，按规定每10000个户头中，头等奖一个，奖金10000元；二等奖10个，各奖1000元；三等奖100个，各奖100元；四等奖1000个，各奖10元.某人买了五个户头，他期望得奖多少元？
解 先计算一个户头得奖金数X的数学期望.依题意X的分布列如表4.2所示.
表4.2
E（X）=10000×0.0001+1000×0.001+100×0.01+10×0.1=4，所以，买五个户头得奖数为E（5X）=5E（X）=20（元）.
例4.5 某保险公司制定赔偿方案，如果在一年内一个顾客的投保事件A发生，该公司就赔偿该顾客a元.若已知一年内事件A发生的概率为p，为使公司收益的期望值等于a的5%，该公司应该要求顾客交纳多少元的保险费？
解 设顾客交纳x元的保险费，公司收益Y元.
则E（Y）=x（1-p）+（x-a）p=x-ap，又E（Y）=5a%，x-ap=5a%，得x=a（p+5%）.
所以，该公司应该要求顾客交纳a（p+5%）元的保险费.
题型Ⅱ 求一维连续型随机变量及其函数的数学期望和方差
例4.6 已知X的概率密度函数为
（1）确定a；
（2）求E（X），D（X）；
（3）求P{X＞E（X）}.
例4.7 已知X的分布函数为
试求E（X）.
解 方法一：先由F（x）求出密度函数f（x），再来求E（X）.
由F（x）的定义式求出密度函数f（x）=F＇（x）.
显然，f（x）为奇函数，所以
方法二：直接由F（x）求期望E（X）.先推导公式：注意到F＇（x）=f（x），dF（x）=f（x）dx，可知
由所给出的F（x）定义，有
例4.8 假设公共汽车于每小时的10分、30分、50分发车，某乘客不知发车时间，在每小时内任一时刻到达车站是随机的，求乘客到车站等车时间的数学期望值.
解 设X表示乘客每小时内到达车站的时间，由题意，X～U[0，60]，其概率密度为f（x）=
设Y表示乘客等待公共汽车的时间（单位：分），可见
题型Ⅲ 求多维离散型随机变量及其函数的数学期望、方差、独立性、相关性
例4.9 设（X，Y）的联合分布律如表4.3所示.
表4.3
求（1）E（X），D（X）；（2）E（Y），D（Y）；（3）X与Y是否独立，是否相关？
解 （1）X的边缘分布律如表4.4所示.
表4.4
于是
（2）Y的边缘分布律如表4.5所示.
表4.5
于是E（Y）=0，D（Y）=
.
（3）由于P（X=-1，Y=-1）=0，而P（X=-1）P（Y=-1）=
，即P（X=-1，Y=-1）≠P（X=-1）P（Y=-1）.
因此X与Y不独立.
下面求X与Y的相关系数，由于
因此Cov（X，Y）=E（XY）-E（X）E（Y）=0.
故ρXY=0，即X与Y不相关.
例4.10 将两封信投入三个空邮筒，设X，Y分别表示第一、第二号邮筒中信的个数.求：（1）（X，Y）的联合分布律；（2）X，Y的边缘分布律，并判断X与Y是否独立；（3）Z=X-Y分布律；（4）Cov（X，Z）.
解 （1）（X，Y）的所有可能的取值为i（，j），i，j=0，1，2.
得（X，Y）的联合分布律如表4.6所示.
表4.6
X边缘分布律如表4.7所示.
表4.7
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X边缘分布律如表4.8所示.
表4.8
因为P（X=2，Y=2）=0≠
=P（X=2）P（Y=2），所以X与Y不独立.
（3）Z的可能取值：0，±1，±2.
因此Z=X-Y分布律如表4.9所示.
表4.9
（4）由协方差运算可得
题型Ⅳ 求多维连续型随机变量及其函数的数学期望、方差、独立性、相关性
例4.11 设二维随机变量（X，Y）在区域D：0≤x≤1，
上服从均匀分布，求E（X），E（Y），D（X），D（Y），ρXY.
解 根据题设（X，Y）联合概率密度是
解 （1）由期望、方差、协方差性质得
题型Ⅴ 利用切比雪夫不等式估计事件
的概率
例4.13 已知正常成人男性的血液中，每毫升白细胞数平均是7300，均方差7002，利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在5200～9400之间的概率p.
解 设每毫升血液中含白细胞数为X，则X是一个随机变量.由题意μ=E（X）=7300，σ2=D（X）=7002，由切比雪夫不等式
例4.14 设随机变量X和Y的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，相关系数为-0.5，试由切比雪夫不等式估计
的值.
解 设Z=X+Y，则
由切比雪夫不等式
例4.15 某天文学家测量他所在的天文台到某星的距离，取这些测量的平均值作为实际距离的估计值.假定上述一系列测量值是独立同分布的随机变量，它们有公共的均值μ（即实际距离）及公共的方差σ2=4，若要以95%的把握可信其估计值精确到±0.5光年以内，他必须测量多少次？
解 设Xi表示第i次测量值，i=1，2，…，n.
由切比雪夫不等式
得n=320.所以，要以95%的把握可信其估计值精确到±0.5光年以内，他必须测量320次.
题型Ⅵ 近似计算服从二项分布的随机变量取值的概率
例4.16 某保险公司有2500人参加保险，每人每年付1200元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.002，死亡时其家属可从保险公司领得20万元.问：（1）保险公司亏本的概率有多大？（2）保险公司一年的利润不少于100万元、200万元的概率各为多大？
解 设X为一年内死亡的人数，则X～B（2500，0.002），np=5，npq=4.99.
故保险公司亏本的概率为0.00007，几乎为零.
以上结果说明，保险公司几乎不可能亏本.不过要记住，关键之处是对死亡率估计必须正确，如果所估计死亡率比实际低，甚至低得多，那么情况就会不同.
例4.17 某单位设置一台电话总机，共有200架分机.设每个电话分机是否使用外线通话是相互独立的，每时刻每个分机有5%的概率使用外线通话.问总机需要多少外线才能以不低于90%的概率保证每个分机使用外线时可供使用？
解 设需要k条外线，X为某时刻通话的分机数，则X～B（200，0.05），np=10，npq=9.5.
所以，总机需要14条外线才能以不低于90%的概率保证每个分机使用外线时可供使用.
题型Ⅶ 已知服从二项分布的随机变量在某范围内取值的概率，估计其范围
例4.18 设某种工艺需要某种合格的产品，N个该产品的次品率为p（0＜p＜1），问要采购多少个产品，才能有β（0＜β＜1）的把握保证合格品数够用？
解 设需采用n件产品，以X表示这n件产品中的次品数.要解决的问题是：求使P（X≤n-N）≥β的最小的n.
因X～B（n，p），当n充分大时，X～N（np，np（1-p）），于是有
其中q=1-p，查表得x0，使Φ（x0）≥β，则
因为n＞N，由上不等式求出符合n＞N的最小的n，取n[]+1即满足要求.
例4.19 有一批种子，其中良种占
，从中任取6000粒，求能以0.99的概率保证其中良种的比例与
相差不超过多少？进而说明能以0.99的概率保证的良种数范围.
解 设6000粒种子中有良种X粒，则X～B（n，p），其中n=6000，
即能以99%的概率保证良种的比例与
相差不超过1.24×10-2，这时
即926≤X≤1074.
说明能以0.99的概率保证良种的范围在926粒到1074粒之间.
题型Ⅷ 用频率估计概率时误差的估计
例4.20 已知一大批无线电元件中合格品占
，欲从中任意选择n件，使选出的这批元件中合格品的比例与
的差不大于0.01的概率不小于0.95，问至少应任选多少件？
解 设n个电器元件中合格品为μ，μ～B（n
），由棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理得
例4.21 用切比雪夫不等式确定当掷一枚均匀铜币时，需掷多少次才能保证使正面出现的频率在0.4至0.6之间的概率不小于90%，并用正态逼近计算同一问题.
解 设需要掷n次，μ表示n次中正面出现的次数.
（1）μ～B（n，0.5），E（μ）=0.5n，D（μ）=0.25n，由切比雪夫不等式
则n≥250，需投掷250次.
（2）由正态逼近，有
则n≥67.24，需投掷68次.
说明：显然，要达到同一要求，估计需掷铜币次数，比较这两种方法，用切比雪夫不等式估计比正态分布逼近粗糙，精度不高.所以同一问题用正态逼近计算比切比雪夫不等式估计效果好多了.
