（三）计算题
1.设随机变量X的概率分布如表4.19所示.
表4.19
求E（X），D（X），E（2X2+3）.
解 由已知有
2.设随机变量X具有概率分布
求E（X），D（X）.
解 由已知有
3.设盒中共有5个球，其中3个白球，2个黑球.从中任取两球，求白球数X的数学期望.
解 X的概率分布如表4.20所示.
表4.20
则E（X）=1.2.
4.设随机变量X的分布函数为
确定常数a，b，并求E（X）.
5.设随机变量X的概率密度函数为
6.证明：当x=E（X）时，E（X-x）2的值最小，最小值为D（X＇）.
证 令f（x）=E（X-x）2=x2-2xE（X）+E（X2），则f＇（x）=2x-2E（X），当f＇（x）=0时，x=E（X），此时f（x）=E（X-x）2取最小值，其最小值为
7.设X1，X2，…，Xn独立同分布，期望为μ，方差为σ2，且
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求E（Y）和D（Y）.
解 因为X1，X2，…，Xn独立同分布，则
8.已知D（X）=25，D（Y）=36，ρXY=0.4，求D（X+Y）和D（X-Y）.
9.设二维随机变量（X，Y）的联合概率分布如表4.21所示.
表4.21
求Cov（X，Y），ρXY.
解 由已知，X，Y，XY的概率分布分别如表4.22、表4.23、表4.24所示.
表4.22
表4.23
表4.24
则E（X）=E（X2）=0.5，D（X）=0.25，E（Y）=E（Y2）=0.3，D（Y）=0.21，E（XY）=0.1，
所以
10.已知生男孩的概率等于0.515，求在10000个婴儿中女孩不少于男孩的概率.
解 设10000个婴儿中有X个男婴，则X～B（10000，0.515），E（X）=np=5150，D（X）=npq=2497.75.
根据中心极限定理，有
11.设一个系统由100个相互独立起作用的部件组成，每个部件损坏的概率为0.1，必须有85个以上的部件正常工作才能使整个系统工作正常，求整个系统能正常工作的概率.
解 设100个部件中正常工作的部件为X个，则
根据中心极限定理，有
