三、典型例题

三、典型例题

题型I 矩估计和极大似然估计

例6.1 从一批电子元件中抽取8个进行寿命测试，得到如下数据（单位：h）：

1050,1100,1130,1040,1250,1300,1200,1080

试对这批元件的平均寿命以及寿命分布的标准差给出矩估计.

分析 平均寿命即总体均值μ，其矩估计值即为样本的一阶原点矩，方差的矩估计值即为样本的二阶中心矩，直接计算即得.

因此，元件的平均寿命和寿命分布的标准差的矩估计分别为1143.75和96.0562.

例6.2 设总体X具有如表6.1所示分布律.

表6.1

其中θ（0＜θ＜1）为未知参数.已知取得了样本值x1=1，x2=2，x3=1.求θ的矩估计值和极大似然估计值.

分析 知道总体X的分布律，（1）先计算其数学期望，再求矩估计；（2）样本的分布律不是用统一的表达式表示的，且若写成统一形式则可能比较复杂，而直接用似然函数的定义写出似然函数，再求解更简单.

解 先求θ的矩估计值：

例6.3 设某种元件的使用寿命X的密度函数为

其中θ＞0为未知参数.设x1，x2，…，xn是X的一组样本观测值，求参数θ的极大似然估计值.

分析 已知X的概率密度，直接按极大似然估计法的步骤求解即可.

解 样本X1，X2，…，Xn的似然函数为

注 求极大似然估计量时，若遇到似然方程（或方程组）无解的情况，则此时由定义直接在边界点上寻找极大似然估计值.

例6.4 设总体X～B（1，p），X1，X2，…，Xn为来自X的样本，试求：

（1）p的矩估计量；

（2）总体均值μ、方差σ2的矩估计量；

（3）p的极大似然估计量.

分析 已知X服从两点分布，根据两点分布的期望、方差及概率分布，按照矩估计法和极大似然估计法的步骤，求出p的矩估计和极大似然估计.

方法二：因总体均值μ=p，方差σ2=p（1-p）都是p的连续函数，所以μ，σ2的矩估计量为：

（3）因总体X具有分布律为

似然方程有唯一解，所以p的极大似然估计量为

注 由上知（2）中求总体均值μ、方差σ2的矩估计量时，可以直接按矩估计步骤求解，也可利用矩估计的性质和（1）中以求得的p的矩估计求解，且后者更简便.

例6.5 设X1，X2，…，Xn是来自概率密度为

的总体的样本，θ未知，求Z=的极大似然估计值.

分析 求关于参数函数的极大似然估计时，可以先求出该参数的估计，再根据函数的性质及极大似然估计的基本思想求解即可.

解 先求θ的极大似然估计值.似然函数(https://www.daowen.com)

注 通过对函数求导可判断函数单调性.

题型II 估计量评选标准的讨论

题型Ⅲ 求参数的区间估计（均值μ的置信区间）

例6.8 某厂生产的化纤强度服从正态分布，长期以来其标准差稳定在σ=0.85，现抽取了一个容量为n=25的样本，测定其强度，算得样本均值为=2.25，试求这批化纤平均强度的置信水平为0.95的置信区间.

分析 本题为一个正态总体方差已知的情况下，求数学期望μ的置信区间.因此用估计函数～N（0，1），得置信区间为

解 这是方差已知时正态均值的区间估计问题.由题设条件1-α=0.95，α=0.05，查表知u0.975=1.96，于是这批化纤平均强度的置信水平为0.95的置信区间为

即 这批化纤平均强度的置信水平为0.95的置信区间为（1.9168，2.5832）.

例6.9 从汽车轮胎厂生产的轮胎中抽取16个样品进行磨损试验，直至轮胎行驶到磨坏为止，测得它们的行驶路程（km）如表6.2所示.

表6.2

设汽车轮胎行驶路程服从正态分布N（μ，σ2），其中μ，σ2未知，试求μ的置信度为0.95的单侧置信下限.

分析 本题为一个正态总体方差未知的情况下，求数学期望μ的单侧置信下限.

解 σ2未知，求μ的置信区间，选取随机变量为

对给定的置信度1-α，有

于是μ的置信度为1-α的单侧置信区间为

μ的置信度为1-α的单侧置信下限为（n-1），对给定的1-α=0.95，查t分布表得t0.1（15）=1.753，计算样本均值为=41139.375，样本标准差为s=1316.509，n=16，得μ的置信度为0.95的单侧置信区间为

μ的置信度为0.95的单侧置信下限为40562.42.

例6.10 某商店每百元投资的利润率服从正态分布，均值为μ，方差为σ2，其中σ2=0.4，现随机抽取5天的利润率为-0.2，0.1，0.8，-0.6，0.9，试求μ的置信度为0.95的置信区间.为使μ的置信度为0.95的置信区间长度不超过0.4，则至少应随机抽取多少天的利润才能达到.

分析 本题为一个正态总体方差已知的情况下，求数学期望μ的置信区间；已知置信区间长度范围，求观察值个数n的最小值.使用置信区间公式为即得.

解 X表示每天的利润率.总体X～N（μ，σ2），方差σ2已知，σ=σ0，求未知参数μ的置信区间.选取随机变量为

例6.11 为比较Ⅰ、Ⅱ两种型号步枪子弹的枪口速度，随机地取Ⅰ型子弹10发，得到枪口速度的平均值为=500m/s和标准差s1=1.10m/s；随机取Ⅱ型子弹20发，得到相应的观测值为=496 m/s和s2=1.20m/s.设两总体都可认为近似地服从正态分布，且由生产过程可认为它们的方差相等.求两总体均值差μ1-μ2的置信度为0.95的置信区间.

分析 本题是求两个正态总体方差相同但未知情况下，总体均值差μ1-μ2的置信区间，故选取估计函数

注 本题中得到的置信区间的下限大于零，在实际中我们就认为μ1比μ2大.如果置信区间包括0，则可认为μ1和μ2没有多大差别.

题型Ⅳ 求方差的置信区间

例6.12 设某异常区磁指标服从正态分布N（μ，σ2），现对该地区进行磁测，按仪器规定其方差不得超过0.01，某日抽测16个点，得样本均值=12.7，样本方差s2=0.0025，问此仪器工作是否稳定（α=0.05）？

分析 本题试求一个正态总体均值未知情况下，总体标准差σ的置信区间，采用估计函数