四、考研真题
1.（2004年数学一）设总体X的分布函数为
其中未知参数β＞1，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本.求（1）β的矩估计量；（2）β的极大似然估计量.
解 X的概率密度为
3.（2006年数学三）设总体X的概率密度为
其中θ是未知参数（0＜θ＜1），X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本，记N为样本值x1，x2，…，xn中小于1的个数.求（1）θ的矩估计；（2）θ的极大似然估计.
解 （1）因为
（2）记似然函数为L（θ），则
4.（2007年数学一）设总体X的概率密度为
其中参数θ（0＜θ＜1）未知，X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，
是样本均值.
（1）求参数θ的矩估计量
；
（2）判断4
是否为θ2的无偏估计量，并说明理由.
8.（2010年数学一）设总体X的概率分布如表6.3所示.
表6.3
(https://www.daowen.com)
（2）由随机变量数字特征的计算公式可得
注 （1）熟练运用期望、方差性质来简化计算；（2）对σ2求导时要将σ2看成整体来计算.
11.（2013年数学一）设总体X的概率密度为
其中θ为未知参数且大于零，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本.
（1）求θ的矩估计量；（2）求θ的极大似然估计量.
解 （1）
故c=
.
13.（2014年数学一）设总体X的分布函数
其中θ是未知参数且大于零，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本.
（1）求E（X）与E（X2）；
（2）求θ的极大似然估计量
；
（3）是否存在实数a，使得对任何ε＞0，都有
其中θ为未知参数，X1，X2，…，Xn是来自总体的简单样本.
（1）求参数θ的矩估计量；
（2）求参数θ的极大似然估计量.
解 （1）总体的数学期望为
显然L（θ）是关于θ的单调递增函数，为了使似然函数达到最大，只要使θ尽可能大就可以，所以参数θ的极大似然估计值为
=min（x1，x2，…，xn），参数θ的极大似然估计量为
=min（X1，X2，…，Xn）.
