三、典型例题
例7.1 假设仪器测量的温度服从正态分布，用一台机器（标准差σ=12）间接测量温度5次，得到数据1250，1265，1245，1260，1275（℃），而用另一种精密仪器测得温度为1277℃（可看作真值），问用此仪器测量温度有无系统偏差？（α=0.05）
解 由题意知，问题为单个正态总体在方差已知的情况下，对均值进行双边假设检验.
例7.2 某林场造了杨树丰产林，5年后调查50株得平均树高为
=9.2（m），假设树高服从正态分布，其标准差为σ=1.6（m），试在α=0.05的显著性水平下，推断丰产林的树高是否低于10m？
解 由题意知，问题为单个正态总体在方差已知的情况下，对均值进行单边假设检验.
（5）判断：因为u＜-u1-α，故拒绝H0，即认为丰产林树高低于10m.
例7.3 某晚稻良种的千粒重μ0=27.5（g）。现育成一高产品种协优辐819，在9个小区种植，得其千粒重为32.528.628.424.729.127.229.833.329.7（g）。问新育成品种的千粒重与某晚稻良种有无差异？（α=0.05）
解 由题意知，问题为单个正态总体在方差未知的情况下，对均值进行双边假设检验.
（1）建立原假设H0：μ=27.5，备择假设H1：μ≠27.5.
（2）构造统计量T=
～t（n-1）.
（3）选定显著性水平α=0.05，由t分布数值表查得临界值t0.05（9-1）=2.306，H0的拒绝域为
＞t0.05（9-1）.
（4）根据样本观测值x1，x2，…，xn，计算出统计量T的观察值
（5）判断：因为
＜t0.05（9-1），故接受H0，即认为新育成品种的千粒重与某晚稻良种没有显著差异.
例7.4 某林场规定杨树苗平均高度达到60cm可以出圃，今在一批苗木中抽取64株，求得平均苗高58cm，标准差为9cm，假设树高服从正态分布，试在α=0.05的显著性水平下，问该批苗木是否能出圃.
解 由题意知，问题为单个正态总体在方差未知的情况下，对均值进行单边假设检验.
（1）建立原假设H0：μ≥60，备择假设H1：μ＜60.
（2）构造统计量T=
～t（n-1）.
（3）选定显著性水平α=0.05，由t分布数值表查得临界值t0.10（64-1）＜t0.10（45）=1.6794，H0的拒绝域为
（4）根据样本观测值x1，x2，…，xn，计算出统计量T的观察值
（5）判断：因为T＜-t0.10（45），故拒绝H0，即认为平均苗圃高度与出圃标准高度差异显著，不能出圃.
例7.5 某厂生产一种螺栓，其直径长期以来服从方差σ2=0.0002（cm2）的正态分布.最近生产了一批这种螺栓，为检验其直径的方差是否有了变化，故抽取了10只测量直径，得到如下数据（单位：cm）：
1.191.211.211.181.171.201.201.171.191.18
据此能否断定这批螺栓直径的方差较以往有了显著变化（α=0.05）？
解 由题意知，问题为单个正态总体在方差σ2未知的情况下，对方差σ2进行双边假设检验.
（5）判断：因为2.7＜χ2=9＜19.022，故接受H0，即认为方差没有显著变化.
例7.6 某电子元件的寿命（单位：h）X～N（μ，σ2），μ与σ2未知，现测得16只元件寿命如下：
问：（1）元件的平均寿命是否大于225h？
（2）元件的寿星方差是否等于1002（α=0.05）？
解 （1）这是一个正态总体、方差σ2未知、关于均值μ的单边假设检验.
①建立原假设H0：μ≤225，备择假设H1：μ＞225.(https://www.daowen.com)
②构造统计量T=
～t（n-1）.
③选定显著性水平α=0.05，由t分布数值表查得临界值t0.10（16-1）=1.7531，H0的拒绝域为T=
＞t0.10（15）或T=
＜-t0.10（15）.
④根据样本观测值x1，x2，…，xn，计算出统计量T的观察值
⑤判断：因为T＜t0.10（15），故接受H0，即认为元件寿命的平均值不大于225h.
（2）由题意知，问题为单个正态总体在方差σ2未知的情况下，对方差σ2进行双边假设检验.
⑤判断：因为6.262＜χ2=14.62＜27.488，故接受H0，即认为方差σ2=1002.
例7.7 同一种圆筒，由甲乙两厂生产，各抽100个，检查其内径（mm），得结果如下.甲厂：均值
=33.95，标准差s1=0.1；乙厂：均值
=34.05，标准差s2=0.15.假设两厂生产的产品内径方差相等，判断两厂产品内径值有无显著差异.（α=0.05）
解 这是两个正态总体、方差
未知但相等、关于均值差μ1-μ2的双边假设检验问题.
（1）建立原假设H0：μ1=μ2，备择假设H1：μ1≠μ2.
（2）构造统计量
～t（n1+n2-2）.
（3）选定显著性水平α=0.05，由t分布的数值表查得临界值tα（n1+n2-2）=t0.05（198）＜t0.05（45）=2.0141，于是H0的拒绝域为
＞tα（n1+n2-2）.
（4）根据样本观测值x1，x2，…，xn，计算出统计量T的观察值
（5）判断：因为
＞tα（n1+n2-2），故拒绝H0，即认为甲乙两厂生产的产品内径值差异显著.
例7.8 为了检测A、B两种测定铁矿含铁量的方法是否有明显差异，现用这两种方法测定了取自12个不同铁矿的矿石标本的含铁量（%），结果列于表7.1，问这两种测定方法是否有显著差异？（α=0.05）
表7.1
解 设d1，d2，…，dn服从正态分布N（μ，σ2），取原假设H0：μd=0，H1：μd≠0.
故不能拒绝H0，即认为两种测定方法无显著差异.
例7.9 某中药厂从某种药材中提取某种有效成分.为了提高得率，改革提炼方法，现对同一质量的药材，用新、旧两种方法各做了10次试验，其得率如下（%）.
旧方法：78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0 75.5 76.7 77.3
新方法：79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1 77.3 80.2 82.1
设这两个样本分别来自正态总体
，并且相互独立.试问新方法的得率是否比旧方法的得率高？（α=0.01）
解 这时在方差未知的情况下，检验总体均值差的问题.因此需检验方差.
（1）取原假设
，备择假设
.
（2）构造统计量
然后在α=0.01下，检验假设H0：μ1≥μ2，备择假设H1：μ1＜μ2.
构造统计量
选定显著性水平α=0.01，由t分布的数值表查得临界值t2α（n1+n2-2）=t0.02（18）=2.5524，根据样本观测值x1，x2，…，xn，计算出统计量T的观察值
因为T＜-t2α（n1+n2-2），故拒绝H0，即认为新方法的得率比旧方法的得率高.
