开放数学教学内容培养学生的创新意识
数学的特征决定了它作为思维教育的重要学科是不可代替的。上一节我们对开放式教学有了初步的认识，这里我们准备针对教学内容的开放，谈谈怎样开放教学内容和如何利用开放性教学内容培养学生的创新思维。为了区别一般意义的开放式教学，我们称之为开放性教学。通过对教学内容的开放，使教学内容生活化、灵活化、直观化，优化教学素材，这对培养学生的创新思维是一个有益的尝试。
一、数学教学内容的开放
正如前文所述，教材内容过于强调自身的系统性与知识性，与实际有一定脱节，有自身的局限性。教学中不可以单纯依赖教材，而应该开放教学内容，适时补充相关内容，调动学生学习的积极性，培养学生的创造性。数学课堂教学内容可从以下几个方面开放。
（一）思想品质教育
各国都重视对儿童进行品德、行为教育，并且都注意从本国国情、从社会对人的素质要求出发，研究和探索思想品德教育的内容、途径和方法。数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的学科，它含有丰富的辩证唯物主义思想、科学的精神与方法，教师可以在数学课堂中渗透思想品德教育的内容，培养学生良好的思想品德，帮助学生树立科学的人生观和世界观。
1.进行爱国主义教育
我国是四大文明古国之一，我国古代数学走在世界的前列，可用一些生动的例子激发学生的爱国主义热情。例如“祖暅原理”是连接简单几何体和复杂几何体体积的桥梁，也是推导柱、锥、台体积的理论基础和依据，它是由祖冲之的儿子在公元5世纪提出，到17世纪才由意大利卡瓦列斯重新提出，相比晚了一千多年。
2.培养勇于探索、严以治学的精神
利用适当的例子对学生进行熏陶，以陶冶他们勇于探索、严以治学的精神。如历史上女数学家爱米·诺德（1882-1935）的故事。中学毕业的爱米有升大学念书和去中学教书的两种选择。去中学教书是一条阳关大道，她已经于1900年4月顺利通过了到中学教书的统一考试。而上大学，在当时的德国大学，对女性持歧视的态度：不能正式注册，只能当旁听生。许多教授对女生十分苛求，一个女生要想通过大学的重重困难非得有惊人的勇气。当年的埃尔兰根大学有上千名学生，旁听的女生却只有两名，爱米就是其中之一。三年的大学生活，她凭着专心与毅力，通过了最后的毕业考试，增强了她攀登科学高峰的信心。
（二）当前数学研究进展或成果
科学是不断发展的，知识是动态生成的。中学数学教学应该向学科科学发展的前沿开放。大纲与教材中选择的教学内容反映了最基础的知识结构，具有一定的稳定性。但现今我们所具有的知识只是真理长河中的相对真理。科学技术的发展日新月异，以静态形式呈现的教材不可能即时呈现出本学科最新的研究动态，这就需要教师主动搜寻新的信息，以此激励学生的求知欲望。如介绍医院的CT扫描仪，CT扫描仪的全称就是用计算机操纵的X射线断层扫描仪，它是由美国科学家A.M.科马克与英国科学家G.N.豪斯费尔德开发设计的，并获得1979年的诺贝尔奖。医学上用传统的X光技术判断早期的癌症信息的时候遇到了严重的困难，在20世纪60年代，有三位英国科学家提出一个新的观念，就是利用解数学方程式的办法，把正常组织对有用信号的干扰和背景作为参变量消去，这种新的观念和新的技术，解决了人们在医学领域企盼的很多问题，也使得人们可以从端部到后部，逐步了解一个三维物体的内部密度分布。这个案例被美国麻省理工学院（MIT）选择对新入学大学生的思维训练的必读教材。它向我们表明了一个重要的事实，就是现代科学技术发展离不开数学这个基础。
又如介绍GPS系统——最能代表现代技术的威力和技术特征的发明。GPS是由Global Position System三个英文单词的第一个英文字母组成的，全称是全球卫星定位系统。在工作过程中，向地球的经极轨道发24颗极轨卫星，利用这24颗卫星，能够迅速解出来你自己所在的空间位置。有了这套技术，人们在地球上就有了精确的、量化的空间感，这对于定位、制导和研究大地的形变，以及预报地球的灾难都是至关重要的。这是一项突破性的技术，采用了综合性的、最新的技术手段，包括精确的时间测量技术、集成电路技术、计算机技术和航天技术等。
还可以介绍希尔波特的十大问题等，利用这类实例可以进一步吸引学生学习数学的兴趣，激发学生学习数学的积极性，明确学习的目的性。
（三）学科发展史
学生有权力知道他们学习这些知识的必要性，有必要知道他们所学知识的重要性，也有能力理解所学学科的来源与发展的内容。教学中可对古书籍如《几何原本》《九章算术》进行介绍，还可以介绍数学的各个大大小小的分支。如介绍集合论，集合的思想起源很早，古希腊的原子论学派就是把直线看成一些原子的排列，但是集合论作为一门科学在19世纪末20世纪初才发展起来。为集合论做出决定性贡献的是德国著名数学家康托尔（1845-1918），他专门论述集合论的文章是从1874年开始的，分别发表于《数学年鉴》及《数学杂志》。现代集合论的概念与思想已经渗透到数学的所有分支，成为近代数学的基础。伟大的数学家希尔伯特（1862-1943）高度评价康托尔的理论，认为它是数学思想最惊人的产物。了解学科来源与发展，能促使学生进入学习的角色，激起学生学习与研究数学的愿望，对学生更好地学习有帮助。
（四）对教材内容的处理
教材有局限性，不可能面面俱到，特别是只能呈现思维的结论不可能展现思维的过程，开放教学内容就是要打破“教材等于教学内容”的狭隘观念，对教材进行灵活处理和使用。教师结合所教内容的知识结构和教学目的的要求，并根据学生特点与学生知识基础对教学进程进行调整或设计有针对性的补充材料，不能忽视知识后面的思想方法，不能忽视思维的展现，不能忽视知识学习中能力的培养。
1.从学生实际出发，调整、删减或重组教材内容
教材内容的讲解具有陈述性的特点，不易引起学生的探索欲望，而且比较适合系列性思维的学生而不适合整体性思维的学生。但是培养学生的整体性思维对于创新思维能力的培养极其重要，因此教学中有必要从学生的实际出发去调整、删减或重组教材内容。
2.补充教材内容
（1）适当安排一些具体的实践活动内容。弗赖登塔尔曾经说：“学一个活动的最好方法是‘做’。”学生的学习只有通过自身的操作活动和再现创造性的“做”才可能是有效的。在每堂课里，一定要留有时间让学生独自解题。除了常见的解题实践外还可以安排一些操作性的数学实践活动，如圆锥的体积是圆柱体积的三分之一。事先让学生准备等底、等高的圆锥形容器和圆柱形容器各一个，在上课时让学生实践用圆锥形容器装满米，然后倒进圆柱形容器中，试看要如此重复几次，以此探求这两个几何体体积的关系。通过实践，既可以使抽象的数学知识具体化，让短时记忆以动作效果来储存，改善短时记忆保持时间短的问题，提高思维的联系水平，还可以培养学生个性和创新意识。
（2）进行思维的展开。要让学生看到教师思维的真实过程，因为学生的思维发展往往是从模仿教师的思维开始的。教师要让学生看到自己的思维轨迹，让学生看到教师如何从数学教材中捕捉信息，如何加工组合这些信息，中间经历了哪些曲折，最后是如何联系上相关的公式、定理的，那种只让学生看到自己的思维结果，把思维过程中受困或失败的部分隐瞒了的教学，不利于学生从教师组织的分析概括活动中学习思维。另一方面，教师切忌用自己的思维取代学生的思维，应该重视学生的疑问与思维。教学是教与学的统一，要讲究提问的艺术，要为学生的疑问与思维创设情景、提供机会，通过展示学生的思维，暴露学生在思维活动中的困难、障碍、错误和疑问，发现学生思维的闪光点和创造性思维的火花，引导学生探求知识，锻炼学生各个方面的能力。
（3）提倡师生借“题”发挥、小“题”大做。突破教材练习“理想化、标准化”的限制，注重挖掘课本典型题例的潜在功能，注意结合学生的心理特点和认识水平，从不同角度、不同层次、不同侧面，有目的、有针对性地不断设计组编一些具有探索性、开放性的题目，或者以知识点或方法为目的搞一些题组训练，为学生提供多种类型的思维训练素材，充分发挥这些素材的导向、典型、发展和教育的作用，反复渗透与运用数学思维方法，把数学知识溶入活的思维训练中去，并在不断的“问题获解”过程中深化、发展学生的思维。
（五）学法指导内容
埃德加·富尔在《学会生存》一书中指出：“未来的文盲，不再是不识字的人，而是没有学会怎样学习的人。”我们应树立终身教育的思想，数学教育应把教会学生“会学”数学作为一项重要的教育目标，必须使学生掌握一定的学习方法，并使学生获得具有恰当地选择和运用学习方法进行有效学习的能力。因此教学中应该指导学生掌握学习方法。
1.一般的学习方法指导
进行一般的学习方法指导，如何读书、如何复习、如何记忆等指导学生按一定的要求去预习；指导学生听课时注意老师是怎样提出问题和明确问题，怎样分析问题和解决问题的，指导学生养成独立思考、独立完成、书写规范、论证严密、计算准确的作业习惯等。
2.学习数学的指导
结合数学学科的具体知识、学法特点和学生的思想实际进行学习数学的指导，如抓住有关的反例、特例或变式，精讲数学解题的策略和思维方式；进行迁移训练，重视学法的理性反思，强化并进行迁移运用，在运用中掌握学法；根据教学实际，及时引导学生把所学的知识加以总结，使知识逐步完善，并找出规律性的东西，如在公式和法则的学习中，要指导学生注意公式的运用范围、公式的来龙去脉以及相关公式之间的逻辑体系，如三角函数的和角公式、倍角公式、半角公式、和差化积公式、积化和差公式等，构成一个逻辑关系紧密的公式体系，记住了和角公式，其他公式都可以由此推导出来。
3.自学方法的指导
“学会”是学生在教师的指导下掌握知识的能力，是形成性的学习，“会学”是学生独立获取知识的自学能力，是实质性的学习。教会学生自学，指导学生在自学过程中要“重直观，善置疑，多类比，勤归纳”。“重直观”就是要求学生重视对数学中的“数”和“形”的直觉观察；“善置疑”就是要求学生对所接触的问题要善于大胆的怀疑，或是提出相反的看法，通过正反两方面的探索，去发现问题的真谛；“多类比”就是要求学生遇到两种以上概念或问题时，要通过类比、联想，寻找其“相关性”或“互斥性”；“勤归纳”就是要求学生一方面把自学中猎取的大量素材条理化、系统化，实现知识的“浓缩”，另一方面则是对问题从纵横两方面进行追溯、引申、类比、联想，通过对特殊问题的观察、分析、猜想，归纳出一般规律，揭示其内在联系。
4.引导质疑解疑
教师要注重提问艺术，提出的问题要有利于激发学生多向思考，调动学生的创造性思维。多向思考的问题比单向或定向的问题更能调动学生的创造性思维。教师在课堂中要少用些判断性提问（对不对？是不是？）、叙述性提问（是什么？），多用一些说理性提问（为什么？）、发散性提问（除此之外，你还想到些什么？）。教学中，教师还要引导学生在读书过程中发现问题、提出问题，并尝试自己解决问题。提问题是思考的结果，也是创新的开始，教师不但要唤醒学生的问题意识，鼓励学生提出问题，还要重视学生的主动质疑，随机点拨质疑的方法，培养学生质疑的能力。要重视引导解疑，引导学生抓住疑难的本质，围绕疑难本身进行一系列的发问，以问代答，一步一步降低问题的难度，一步一步揭开疑难的面纱，接近问题的答案。
二、开放性数学教学内容对学生创新思维的培养
据有关创造过程机制的研究表明，创造的关键是思维。这就要求我们明确：数学的课堂教学不仅是数学知识的传授，更重要的是利用数学知识、数学问题来发展学生的思维能力，数学思维能力的培养是数学课堂教学的主线。开放教学内容有利于数学思维能力的培养，特别是创新思维能力的培养。
对于思维主体来说，创新思维是一种新颖独到的思维活动。它包括发现新事物、揭示新规律、提出新方法、解决新问题等思维过程。尽管这些思维结果通常并不是首次发现，但对于思维主体而言一定是本身的首次发现或超越常规的思考。数学创新思维含有直觉思维、形象思维等数学思维的基本成分，具有发散性、整合性的基本特征，具有广阔性、敏捷性、深刻性、灵活性、独特性、批判性等特征。可以从下面几方面培养学生的创新思维能力。
（一）思维发散性的培养
徐利治教授说：“数学的新思想、新概念和新方法往往源于发散思维。”创新思维是建立在发散思维基础上的，发散思维是创造性思维的重要特征之一，要开发和培养学生的创造力，应该重视对学生进行发散思维训练。发散思维是一种辐射型的思维方式，是指依据研究对象提供的信息，打破思维常规，对已知信息进行多角度、多方位、多层次的处理，寻求变异，探索多种解决问题的方案或新途径的思维形式。这种思维形式打破了常规的思维框架，产生了尽可能多的、新的、奇的、好的、可行的、不可行的、正确的、谬误的方案。
美国心理学家吉尔福特认为，发散思维具有流畅、变通、独创三个特征。流畅性（指发散的量）、变通性（指发散的灵活性）和独创性（指发散的新奇成分）是发散思维的三个维度，这三个维度又是创造性思维的重要内容。培养学生的发散思维，就应加强这“三个维度”的训练。
1.学生构建“数学认知结构”，培养发散思维的流畅性
20世纪60年代，美国心理学家通过训练大学生思维流畅性的实验发现，思维流畅性的训练可以促进创新思维的发展。思维流畅性与思维逻辑性直接相关，所以首先要帮助学生厘清知识间的逻辑关系。在教学中既要注意使知识在层次上不断深化，帮助学生把新知识及时纳入已有的知识体系，特别要注意数学知识之间的关系和联系，逐步形成和扩充知识结构系统；在教学中还要充分提炼和总结出带有规律性的解题方法，并使学生学会熟练地运用分析、综合、抽象、概括、类比、归纳、演绎等逻辑思维方法来处理数学问题，做到善于使用数学模式。勉励学生在大脑中构建“数学认知结构”，形成一个条理化、网络化的系统。这样，在解题时就能由题目所提供的要素，在所建构系统网络中较快地寻找解题途径，优化解题过程，实现正迁移。
2.学会多方位思考，培养发散思维的变通性
因审视的方位不同，一个数学问题会有几种不同解法。在教学中，教师若能抓住一切有利时机，精心设计一些数学问题，经常有意识地启发引导学生从不同的方向，变换思维角度进行广泛探索与求解，特别是探寻最简、最优的解法，这不仅有利于使学生融会贯通，而且有利于培养学生的思维变通能力。
3.拓展发散思维空间，培养发散思维的独创性
思维的独创性是各种思维品质中最重要的一种品质，这种品质可以从后天的学习中培养起来，它并不是少数天才的专利。每种事物都可以突破常规，进行创造。因此，学生在学习中应不满足于当前水平，应养成探索新的构思、新的解题思路和方法，逐步形成自己的创造力。在课堂教学中，教师要进行一题多解的思维变通性训练，还要引导学生一题多变，一题多联。适当改变条件，探讨结论的变化，并且注意引申和推广命题，寓“变、联”于日常教学之中，鼓励学生敢于标新立异，养成发散思维习惯。同时以“变、联”的魅力来激起他们的好奇心、好胜心，促使学生热爱数学。
（二）直觉思维的培养
布鲁纳认为，直觉思维是非逻辑或超逻辑的，是认识过程的飞跃和渐进性的中断，是瞬间的顿悟和贯通。数学直觉是人脑有意识地对于数学对象的某种直接领悟或洞察。有灵感思维和非灵感思维之分。法国著名数学家彭加勒曾说过：“逻辑是证明工具，直觉是发明工具。”高斯曾经说过：“发现和创新比命题的证明更重要，因为一旦抓住真理以后，验证往往只是时间问题。”直觉思维是创造性思维的一种表现，它既是发明创造的先导，也是百思不解之后突然诞生的硕果，在创造发明的过程中占有重要地位。为了培养学生的创新思维，教师应当有意识地帮助学生去发展直觉思维。
1.要培养直觉思维的整体性和概括性，激发学生的直觉思维
直觉思维的产生是由于直觉整体性的体现，是思维全方位整合的结果。也就是说直觉思维与流畅性有相似之处，总是以熟悉有关知识及其结构为基础的，哥德巴赫如果从未学过数论的有关理论，即使具有直觉思维，也绝不会有哥德巴赫猜想。要发展学生的直觉思维，就要教育学生认真掌握每一门学科的基本理论，培养直觉思维的整体性，这是发展学生直觉思维的根本。要培养直觉思维的概括性，就是要培养学生的简缩思维。思维之所以能揭示事物的本质和内在规律的关系，主要来自抽象和概括的过程，即思维的概括的反映。概括性是思维的最显著特征，简缩思维是思维概括性的反映。我们应该重视思维概括性的锻炼，在分析问题时要考虑到所有可能性，努力寻求导向目的的最简捷的逻辑途径，力求思路简洁。
2.要鼓励猜想，诱发学生的灵感思维
科学上的许多发现都是先凭直觉做出猜想，而后才去证明或验证。如著名的哥德巴赫猜想、费尔马猜想、欧拉猜想等。在实际教学过程中，教师要鼓励学生大胆猜想，以此激发学生的学习兴趣，发展学生的直觉思维，达到启迪思维、传授知识的目的。
教学中还可选择适当的题目类型，培养学生的直觉思维。例如选择题，由于只要求从四个选择中挑选出来，省略解题过程，允许合理的猜想，有利于直觉思维的发展。实施开放性问题教学，也是培养直觉思维的有效方法。开放性问题的条件或结论不够明确，可以从多个角度由果寻因，由因索果，提出猜想，答案的发散性有利于直觉思维能力的培养。
（三）思维整合性的培养
创新思维活动同时又是一种多维整合的过程，在思维上表现为思维类型的有机结合，即收敛思维与发散思维、逻辑思维与直觉思维、抽象思维与形象思维、静态思维与动态思维的相互配合，从而使学生的思维具有多维整合的功能，形成多维交融的状态，达到创新的目的。
直觉思维和逻辑思维、收敛思维和发散思维、抽象思维与形象思维它们分别是一对矛盾的统一体。首先，直觉思维的程序是从特殊到一般，非逻辑的、迅速的知觉，直截了当地做出预测性的答案，逻辑思维的程序是由一般到特殊递进地进行；发散思维是从不同方向、不同角度多途径地探索，而收敛思维则是程序式的，按照一定的思路，集中从一个方面寻求标准式的答案；抽象思维是对事物本质属性的抽取过程，形象思维是通过事物的具体形象和表象而进行的联想、想象。矛盾的两个方面是对立的，强调其对立的同时，并不能忘记矛盾的两个方面又是相互依存的。要培养创新思维就必须全面地认识二者之间对立、统一的辩证关系，要真正处理好发散思维和收敛思维、直觉思维与逻辑思维、形象思维与抽象思维的整合关系。
1.发散思维和收敛思维的整合
数学思维按照思维的指向可以分为收敛思维和发散思维。如上所述，发散思维确是创造性思维的主要形式，但是片面强调思维的发散是不正确的，如果仅停留在发散思维阶段，就会使人犹豫不决，不易抓住问题的本质和关键，达不到创造的目的，在多种发散的方法中，只有获得收敛思维的配合，才能获得一种最简捷、最科学的方案与结果，所以创造性思维还应包含收敛思维。研究证明，发散思维和收敛思维，在创新思维过程中是互相促进、彼此沟通、互为前提、互为补充的，一个创造性活动的全过程，要经过从发散思维到收敛思维，再从收敛思维到发散思维，多次循环才能完成。收敛思维和发散思维各有优点、缺点和独特作用，因此在教学思维过程中必须把两者统一起来，创设条件让学生同时锻炼。
2.直觉思维与逻辑思维的整合
从思维方式上看，思维可以分为逻辑思维和直觉思维。逻辑思维是指严格遵循逻辑规律，逐步进行分析与推导，最后得出合乎逻辑的正确答案和结论的思维活动。直觉思维是一种没有完整的分析过程与逻辑程序，依靠灵感和顿悟，快速地做出判断和结论的思维活动。但在利用直觉思维提出新思想、新设想之后，仍需要用逻辑思维进行推理和论证。因此，我们不能排斥或贬低逻辑思维在创造活动中的作用，逻辑思维与直觉思维同等重要，偏离任何一方都会制约一个人思维能力的发展，伊思·斯图尔特曾经说过这样一句话：“数学的全部力量就在于直觉和严格性巧妙地结合在一起，受控制的精神和富有灵感的逻辑。”受控制的精神和富有美感的逻辑正是数学的魅力所在。事实上，整个创造性思维的发展都是在逻辑思维和直觉思维的交叉状态下进行的。
3.形象思维与抽象思维的整合
创新思维是抽象思维与形象思维的对立统一。抽象思维是舍弃非本质属性，抽取出事物本质属性的思维过程。形象思维是凭借事物的具体形象和表象的联想、想象来进行思维的活动。形象思维在创新思维活动中所起的作用在于创造想象参与思维过程，使思维活动能够结合以往的经验，在想象中形成创造性的新形象，提出新的假设。创造想象参与思维过程是创造活动顺利开展的关键。抽象思维和形象思维相辅相成，缺一不可，形象思维是抽象思维的基础，形象思维有助于学生对抽象概念的理解，抽象思维是形象思维的发展，因此，必须重视抽象思维与形象思维的整合。
由以上分析可见，发散思维、直觉思维和形象思维在创造活动中起着非常重要的作用。同时，创造性思维也离不开收敛思维、逻辑思维和抽象思维，创造性思维正是这些不同思维方式的对立统一，是多种思维形式错综复杂地交融而形成的综合思维过程，在某些阶段非逻辑思维或发散思维起着突破性作用，而在另一些阶段逻辑思维或收敛思维又为问题解决铺垫阶梯，不注重非逻辑思维或发散思维的培养，不能形成创新能力，同样忽视逻辑思维或收敛思维的训练，也不会有良好的创新能力。教学中应重视各种思维灵活地整合，培养学生实现各种思维合理地、完美地交融。