数学概念、定理、公理、公式的教学法技巧及注意事项
我们的数学课对于几乎所有学生而言是一门提不起兴趣的课程，一来学生学得难受，二来老师教得也非常难受，不少学生不喜欢学，究其原因是数学远比不上其他课程教起来生动有意思。那些数学成绩差的学生，关键是由于他们对数学公式、定理、公理完全记不住，不要提理解是否透彻，更加不知道如何去推导出结果，导致不会做简单的题，因而望见数学试卷就头晕，从而对深奥的数学完全失去了解的兴趣。我们在数学课堂讲授中，也有不少数学教师习惯对定理、概念课的分析力度不足，舍去根本取其末节，在数学讲解中更多地把精力放在“题海战术”，如此就忽视了那些学生的主动作用，使得缺少学生思维主动锻炼，导致学生只能靠机械记忆数学的答案与公式，如此盲目地去进行学习，像个鱼儿在无边的题海中漫游，吃力不讨好，学生逐步单纯地成了装知识的器皿。在如此无趣的教学中，学生思维的动力和空间无情地被丢弃掉。日积月累，学生虽然很努力，课堂学知识也背熟，但他们动手实践的技能完全没有，这样的学生对数学深奥的问题完全不会进行深入的追求和探索，也不会有创新动力和创新活动。动手推演数学中的定理、公式是揭露和反映数学概念本质及属性间的联系的最重要方法。所以帮助学生记住数学概念、定理、公理、公式是让学生学好数学的窍门。数学教师最主要的教学技巧就是使学生掌握并理解概念、定理、公理、公式的含义，并可以用这些概念、定理、公理、公式解决数学问题，才可以使学生对学习感兴趣、使学生热爱数学课。
1.自学交流模式
如果课程内容中有些概念、公式非常明显简单，推演的价值就很小，那么无须再过多地主动进行“推演”，改成利用此次教学内容进行引导学生自主学习，多花时间采用学生自主学习与教师互助交流的形式进行教学。
（1）课前准备阶段。“课前准备”分为三部分：
①我们为了使这堂课正常进行，针对本次课的概念、公式和需解决的难题，再结合学生之前学过的知识和技巧，设计出一个知识连贯的前期阶梯；
②我们为了使这堂课正常进行，以本次课程需求来做好课前的准备；
③追求有效的课前学生的自主预习行为。
（2）课上探究阶段。我们在课上探究推演的阶段不能忽视课堂教育的四个关键环节。
环节一：自主探究
明确学习目标：教师举例，就是讲出与研究定理、公理对应的故事，不单包括已经学习过的定理、一些有关例子、一系列相联系的数以及公式等，教师还要明确提出自己的要求，由学生用各种方法，比如类比、归纳、推理等自己一个人去得出正确的结论为止。在实践中，教师要随时转变固定观念，学会转换下角色，换位思考，要把自己放在学生学习行为的组织者、伙伴和合作者的地位。做到相当相信自己的学生，给学生多多营造可以自主探究学习的气氛，扫干净自主探究的平台，同时开阔自主探究的空间，根据教学最基本的目标，组织容易操作的课堂活动，让学生学会如何探究新的知识，鼓励学生大胆去发现创新，轻轻松松进入自主推演的过程，在这个未知的舞台上尽显身手。把靠老师“教数学”改变成学生愿意“学数学”。
环节二：合作交流
①小组内部交流。这过程的同学沟通，目的在掌握“自主学习”中还不懂的概念、公式，进而解决了“理解”的疑问，不仅简单地背下概念、公式，还改过了做题时概念、公式的运用误区，是一种改正思考方式和答题计算失误的最好策略。所以，教学时此过程的合作沟通，是一定要建立在各个学生的自主思考层面上，学生若是还不独立思考就贸然参与同学交流，这过程大概率无实效。其中有些简单问题可以一个人解决的，就给机会学生独立去解决；能够两人一起解决的，就让两人合作解决；可以在一个小组内部解决的问题就不拿到班上解决。这过程中尽量充分发挥小组各人的监督作用。要求组内每个学生先和自己的好朋友讨论教案中的对应问题，对一些不难的知识只需花少量时间，对于教学中的重点、关键问题则要热情展开讨论，追求在组内得到一致结论。
②组际交流（班内展示）。组际交流要求以学生讲解或推演为主的沟通形式，可以让学生说出自己对定理的独特理解，认清定理在平时使用中需要注意的点，定理的不同使用与变化方式的问题等。力求在教学上引起争论，充分表现学生的思考能力，使学生从根本上认识定理等。下面是具体措施：请每个小组选择的代表在全班面前进行学习心得汇报，掌握每个小组学习的具体情况，与此同时观察每个小组里那些学习有困难的学生对知识掌握情况。如果有小组提出了问题，允许请其他的小组来回答答题的办法。我们的经验表明：一堂让学生能够收获丰富的课，其讨论到的问题可能会遇到有些深度的，特别是当问题被学生提出的时候，往往需要老师讲解。
环节三：精讲点拨
遇到上面过程中出现的关键点，以及一些知识的难点，教师需要即时进行讲解、点拨。精讲点拨是一个让学生学习升华的过程。细致的精讲一般由教师讲，亦允许由优秀学生讲。如果是教师在详细讲解，要力求做到以下方面：
①讲解的语言、文字要详细，不能点到为止。
②精讲应具体问题具体分析，不能所有都讲到，主要按照学生自习、分组交流时候反馈的点来展开发挥。
③精讲的问题要具备启迪作用，学生得到老师的恰当的点拨可以解决问题时应尽量让学生去独立做，充分发挥学生对于学习的积极性，大力培养学生获得好的思维方式。
④教师一定要对学生互相沟通过程中能提出的那些独创性的见解给予大力表扬，对于比较幼稚的见解不要笑话，这样才能保护学生参与这种活动的积极性。
环节四：有效训练(https://www.daowen.com)
所谓有效训练，是为了巩固基础，及时牢记，理解和运用所学的概念和公式去解决具体的问题，来保证教学目标的完成。因此，要精心设计训练题。设计训练题时要做到：
①出题要有高低层次感，满足不同能力的学生的学习需求；
②出题要紧密围绕我们的教学重点和目标；
③出题要特别注意疑难问题和易错题；
④题目一定要有普遍性和可类比性。在有效训练结束之后，要及时进行教学的总结。每次教学总结是一堂课的归纳总结也是提升，被认为是课程目的落地的关键环节。对于概念、公式课的归纳总结，其实可以大胆让学生去完成。不过在刚刚开始的阶段，老师首先教会他们怎样去总结，总结些什么。举例：告诉他们要总结的内容包括本堂课自己的收获心得。这些收获可以是对概念、公式的理解，也可以是规律的总结，或者是一些解题方法、技巧的运用，延伸到未来学习所要注意的点等。
（3）课后延伸阶段。课后延伸包括以下几点：
①分层次的课后作业。学生作业时候要分不同的层次，最好把题目归为必做和选做的。可以布置给学生一部分开放性的作业，要为后面的进一步学习与发展打下基础。
②作业完成后隔一段时间要进行复习才有真效果。
③课后的相关知识拓展活动或创新性学习。
2.探究交流模式
教师对于课堂内容中的概念与之前学过的概念相似或者可以类比之前的概念时，就要使用类比的方式让学生来学习新概念；而对于部分能通过推演归纳得出的定理、规律等，能够通过灵活运用学案的例子或直接提供给学生一些解决事例好办法，直接由学生独立研究得到正确的结论；而具有很高学习价值的定理、公式，建议要不时采用讨论学习和互动交流的方式去教学。
3.数学概念教学的技巧
（1）直观化。学习数学概念一定会经历一个从直观生动的现象到抽象思维、然后是抽象的思维到具体的应用的过程，有时可能要有多次反复才可以学会。依据概念的表面现象，对抽象概念一步一步进行现象化表征，能提升概念学习的效率。数学中的现象是相对的，那些实物、教学模型、图案或多媒体投射的画面等都归于具体和生动的表象。
（2）可以通过正例与反例深刻对比概念，来加强概念的学习。使用举例深化概念的认识，被认为是必须而特别有效的一种教学方式。在数学习惯思维中，概念和样例肯定是同时出现的。当你提到某一个概念时候，头脑最先反应必然是它的经典“例子”，证实例子在概念学习和记忆中的关键作用。要是提起“方程”，大家的心中会第一时间想到一次函数的直线、二次函数、指数函数、对数函数等的具体方程式及对应的曲线。概念也有反面，同时反面例子提供了最有利于分清楚概念的信息，对概念认识的深化认识具有至关重要的作用。那些反例的使用可让学生的概念理解得更精确、清楚，而且可以大力排除无关混淆项的干扰。要清楚下面这一点，反例一定要在学生对新学概念达到一定认识后才开始用，否则，若是在学生刚接触概念时用反例，将有大概率令错误概念先入为主，妨碍概念的正确理解。在教师说到概念定义后，为清楚地突出重视概念的本质属性，不至于概念误解，一定要举出概念的正例或反例。如“异面直线”概念，就可以用到概念的具体例子让学生认识到：异面直线是永远都找不到一个平面将它们完全纳入其中的两条直线，而不简单理解为“在几个不同平面上的直线”，不能排除没有一个面可以容纳它们。
（3）通过对比清楚概念。有了比较才产生不同。把同类的概念进行适当对比，便可归纳共同特征。对具有上下关系的概念进行类比，可识别被定义概念的关联属性；对容易混淆的概念作对比，不会糊里糊涂，降低简单理解的错误。如“集合”和“组合”，有了对比不再会混淆；“有理数”和“无理数”，通过对比能理解它们的差异，即前者有规律性而后者无规律性，“有理数”一定可以写出分式，“无理数”不能。
（4）灵活运用变式以完成概念深刻认识。通过变式由不同的角度了解概念同时给出具体例子，能全面学会概念。变式是变换概念的本质属性的外在形式，其实也是变更观察事物的立场或方法，达到突出对象的重要特征，突出那些底层的本质元素。简单说，变式是说事物的正面例证在次要特征方面的变化形式。通过变式，能令学生牢牢地掌握概念的内容和规律。因为学生一般习惯具体形象与记忆，对那些抽象的数学概念要努力指引学生由形的方面进行再辨别，来形成概念的直观、形象感，例如“极值”和“最值”。需要提出，概念变式的使用肯定加深概念理解，但是要掌握好时机，一定要在概念理解的靠后的阶段时候运用才可以收到意想不到的效果。否则后果糟糕，学生不仅不明白变式的目标，变式的多变性反过来会干扰学生对概念识别，甚至头脑混乱。
（5）对概念精简。在某种程度上，概念的精简可说是概念压缩，也是把握概念的注意内容。追求概念的简明扼要和分块使得占据记忆空间不多，容易记忆。对于关键词的提炼即概念基础属性的表达，这提高了概念精简所需达到的水平。同时表明，在学生的有限认知范围内，“概念定义”是懒惰的，经常会被忘记，起作用的是精简后的概念提炼。所以，概念课堂必须经过概念精简程序，让学生自己提炼出最有代表性特点。
（6）把概念进行多元化表述。数学的概念一般有多种表达形式，一是利用真正的物品、模型、画面进行的外在形象表达；二是借助口语和特殊符号作的符号表达。不一样的表达将导致不同的理解，概念多元表达能形成学生的多角度观察事物的习惯；要在不一样的表达环境中建立概念的不一样的表述方法，亦要在不一样的表述系统之间进行转换学习，能加深学生对概念联系性的认识；认识到概念不一样表述间的关键联系，而且学会辨别、使用同转化多种数学表述，是能够有效运用概念去解决复杂、综合问题的前提。所以，让学生学会概念的多元表述，可以在不同的表述间灵活转化，被认为数学概念学习的基本方法。
（7）将概念算法化。我们学习概念是为了使用；另外，应用又可以促进概念的深刻记忆。概念的使用能分为两种，首先是把概念用作判断手段，然后是将概念当作性质来用。要想更好地使用概念去解题，可以把概念算法化，把枯燥的概念定义转化为实质性的算法知识。不能实现枯燥概念定义的算法化肯定是学生不会应用概念的一个重要原因。