二、数值变换法

在资料图投影方程式未知时(包括投影常数难以判别时)，或不易求得资料图和新编图两投影间解析关系式的情况下，可以采用多项式来建立它们间的联系，即利用两投影间的若干离散点(纬线、经线的交点等)，用数值逼近的理论和方法来建立两投影间的关系。它是地图投影变换在理论上和实践中的一种较通用的方法。

数值变换时，由于任何地图投影函数(三角函数、初等函数和反三角函数)都可以用收敛的幂级数来表达，用数值方法建立的逼近多项式对上述级数的逼近过程也是收敛的。由数值方法构成的逼近多项式组成的近似变换与原来变换一样，是一个拓扑变换。

数值变换一般的数学模型为:

式中:F为X，Y(或φ，λ)；n为1，2，3，…，K等正整数；aij为待定系数。

例如，二元三次幂多项式为

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在两投影之间选定10个共同点的平面直角坐标(xi，yi)和(Xi，Yi)，分别组成线性方程组，即可求得系数aij，bij值。这种方法属直接求解多项式的正解变换法。

为了使两投影间在变换区域的点上有最佳平方逼近，应选择10个以上的点，根据最小二乘法原理，新投影的实际变换值与真坐标值之差的平方和，即

应为最小。

根据求极值原理，应分别令ε对aij，ε′对bij的一阶偏导数为0，由此便分别得到两个线性方程组，即可求得aij，bij值。这种方法属按最小二乘法逼近确定多项式的正解变换法。

地图投影数值变换法虽然取得了一定进展，但在逼近函数构成、多项式逼近的稳定性和精度等一系列问题上仍需进一步研究和探讨。