2　内容分析

《勾股割圜记》（1）不仅是一本解释西方传来的“三角八线”法的高级历算书，（2）还是一本“因周髀首章之言，衍而极之，以备步算之大全，补六艺之逸简”（终篇的自注）的书。

接下来以微波榭本为底本，稍许分析一下戴震的理论构成以及思维形式。微波榭本由3卷构成，上卷论述平面的三角法（平三角法），中卷论述球面的直角三角法（正弧三角法），下卷论述球面的一般三角法（斜弧三角法）。

2.1　平三角法　　　首先是上卷的平三角法，戴震从分割圆所成的弧、矢、弦开始论述。“割圜之法，中其圜而觚（中心角θ）分之，截圜周为弧背（arc）。縆弧背之两端曰弦（chord），值弧与弦之半曰矢（sagitta）。”这里“觚”指角，但除了本书以外，古今上下从未记载过这个用法。在正文后面，戴震又加上了对术语等的说明与注释，最后引用了郭守敬《授时历草》的文章结束自己的注释。另外，戴震画了算图（图5-1）以帮助读者理解。该书如上所述，以正文与图注为基本单位展开论证。

图5-1

继弧、矢、弦之后，戴震阐释了勾与股的定义，之后又在“圜内函方”“方内函圜”中明确了几个数，还涉及了毕达哥拉斯定理。这个从圆方到毕达哥拉斯定理的构成，不必引用自注也可知，主要建立在《周髀算经》首章“数之法，出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五”的基础上。根据戴震的解释，毕达哥拉斯定理——“句股弦三矩方之，合句与股二方，适如弦之大方”，来源于《周髀算经》中取矩十二折之为勾三、股四、弦五。“矩”虽然是几何学意义上的边的概念，但若没有自注或补注的记载，就算是当时的学者应该也不明白它的意思吧。除了勾股定理，戴震还写了其应用公式。它们被称为勾股第一术、第二术、第三术。对于勾a、股b、弦c，分别等于

戴震还顺便论述了（1）半弧弦（sinθ）、矢（versθ=1-cosθ）、圆径（diameter=2）的相互关系，（2）三角形的内角总和等于π等，接着还说明了关于三角八线的自己的用语。比如，内矩分（sinθ）、（外）矩分（tanθ）、径引数（secθ）、次内矩分（cosθ）、次矩分（cotθ）、次引数（cosecθ）等。他故意使用与当时的用语——正弦、正切、正割、余弦、余切、余割不同的用语，因为要说服同时代的人必须提供足够的理论根据，据戴震而言，这是《周髀算经》的记述：“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远。环矩以为圆，合矩以为方。方属地，圆属天，天圆地方，方数为典，以方出圆。”不难想象，他认为古代圣贤真的制作了“准望之矩”——用于测量三角的仪器，如戴震自己所引的图（图5-2）。古代圣贤将准望之矩的一边称为矩分，把“引径隅为弦”（延长径隅便成了新弦）的部分命名为径引数等，他的理论可以像这样被复原。

接着，戴震呈现了推导三角八线相互关系的基本原理：（1）直角三角形的相似、（2）相似所产生的比例（勾股比例）。“圆周之外内所成勾股弦，皆方数也。随径隅所指割圆周，成弧背，皆规限也。限同则外内相应，勾股弦三矩通一为率。外内相应，勾股弦三矩通一为率，斯可以小大互权矣。”另外，加上对圆的四分之一的分析，他画了“同限之勾股三”——圆限θ相等的3个直角相似三角形（图5-3），推导出下述相

图5-2

似比：

内矩分sinθ　∶　次内矩分cosθ　∶　径隅1

=矩分tanθ　∶　圆半径1　∶　径引数secθ

=圆半径1　∶　次矩分cotθ　∶　次引数cosecθ

图5-3

同样在半圆中，得出相似比：

上式

=倍内矩分2sinθ　∶倍次内矩分2cosθ　∶圆径2

=倍弧内矩分sin 2θ　∶倍弧之大矢1+cos 2θ　∶倍次内矩分2cosθ

=倍弧之矢1-cos 2θ　∶倍弧内矩分sin 2θ　∶倍内矩分2sinθ

戴震在上述相似比基础上，说明了tanθ=sinθ/cosθ等三角八线互换式，另外他还推导出了倍角公式和半角公式等。

根据勾股比例，不仅能得出上述种种公式，而且有勾股第13术的加法定理等（θ＞θ′＞0）。

再画出有点复杂的二图，归纳此二系列的勾股比例为：

从而戴震说明了根据上述定理等成立条件。

然而一旦牵扯到一般三角形，虽说“凡同限互权之率，勾股之大恒也”，但根本无法照搬勾股比例。因此戴震对于一般的三角形，从各顶点向对边画垂线“变成勾股六”，用这新的勾股形实施“展转互权”。也就是说，首先截取正弧（A）与右觚（C）为“同限者”（与左觚B共享相似勾股形）二者（图5-4），从其勾股形AA′B∽勾股形CC′B，可得：

bsin A∶a=bsin C∶c

同样地，可推导出：

csin A∶a=csin B∶b

asin C∶c=asin B∶b

图5-4

整理上述三个式子，即可获得正弦定理。

上卷以梅文鼎所谓“切线分外角法”的记载告终。戴震推导出：

前一个等号是用正弦定理，后一个等号是用算图说明了定理。当然，此说明也是以勾股比例为前提展开的。

2.2　正弧三角法　　　《勾股割圜记》中讲到球面的直角三角形的解法。内容本身不外乎关于展示太阳在天球上位置的黄道坐标（黄经λ，黄纬β=0）和赤道坐标（赤经α、赤纬δ）的变换。

戴震在卷首针对天球的模型论述道：“浑圆，中其图而规之。二规（赤道与黄道）之交，循圆半周而得再交。”接着又说明了自己创造的关于赤道度与黄道度的用语。其基于《大戴礼·易本命》中的“东西为纬，南北为经”，以为“古历皆以黄赤道之度为纬度，二道二极相距之度为经度”，从而改变当时的通用法则。纬度、经度、纬弧、经弧正是如此，它们在现代天文学、当时作为通法的欧罗巴法、中国传统的授时历法中分别对应如下表。

表5-1

如表所示，他以经书上的记载为根据，完全颠倒了经与纬的意义。

戴震确定了用语以后，又着眼图5-5的球面BCTS而求定各种勾股比例。这是弧三角法的“本法”。“经纬之限界其外，经纬之弧截其内。是为半弧背者四。以勾股御之。半弧背之外内矩分，平行相应，得同限之勾股弦各四。古弧矢术之方直仪也。”方直仪是四角锥的一种，四侧面是勾股形，底面是长方形。因为∠BCT=∠CTS=∠BST=直角，所以底面可作长方形。戴震对相关的方直仪确定了以面为单位的勾股比例。比如，包含扇形OST这一侧面（图5-6），相互比较面上的相似勾股形，求得“互求率一”。^[5]

图5-5

图5-6

此外对于别的面也是一样。

戴震如此以求得“凡勾股二十有四，为互求之率五”——5种24个相似勾股形，从其勾股比例算出β=0时赤道坐标与黄道坐标的变换公式：

15术　sinδ=sinεcos

16术　tan=tansecε

17术　cos=cosecεsinδ

18术　cos=cotεtanδ

19术　sin=sincosδ

20术　tanε=tanδsec

21术　tan=tancosε

22术　tanδ=tanεcos(https://www.daowen.com)

23术　cosδ=cosecsin

24术　cosε=cottan

25术　sin=sinsecδ

26术　sinε=sinδsec

如上所述，戴震分析完毕“本法”之后，立刻扩张到“引而伸之”。可以说这种引申法，把球面ΥBC等一般的球面直角三角形即“规限勾股径隅”变换为“方数勾股径隅”——平面的直角三角形。这比本法更为简洁，因此也更富于普遍性。若要总结这一引申方法的要点，那么首先是向球外延长直线OB、OC，成为三角锥。这三个侧面由以OΥC、OΥB、OBC为构成要素的面构成，底面是三边tanλ、tanα、tanδsecα的勾股形。接着其把这个三角锥起名为次纬仪，把纬度α=∠ΥOC改名为股限或股度，经弧δ=∠BOC改名为句限或句度，纬弧的次半弧背λ=∠ΥOB改名为隅限或弦度。我们也学习戴震改正表记法，以下记δ→a、α→b、λ→c，另外，表记a的对角为A（=ε），b的对角为B，c的对角为C（=90°）（图5-7）。戴震使用新的术语解析次纬仪，也就是说，着眼于平面OBC上的勾股形。

图5-7

（1）句度矩分tan a　∶　圆半径1　∶　句度径引数sec a

=句度内矩分sin a　∶　句度次内矩分cos a　∶　径隅1

=圆半径1　∶　句度次矩分cot a　∶　句度次引数cosec a

=虚　∶　股度径引数sec b　∶　弦度径引数sec c

同样：

（2）tan b　∶　1　∶　sec b

=sin b∶　cos b　∶　1

=1　∶　cot b　∶　cosec b

=虚　∶　cos c　∶　cos a

（3）tan c　∶　1　∶　sec c

=sin c　∶cos c　∶　1

=1　∶　cot c　∶　cosec c

=虚　∶cos b　∶　sec a

另外从底面的勾股形和与其平行的两个勾股形的相似中，戴震如此分析：

（4）tan A　∶　1　∶　sec A

=sin A　∶　cos A　∶　1

=1　∶　cot A　∶　cosec A

=虚　∶　tan b　∶　tan c

=tan a　∶　sin b　∶　虚

=sin a　∶　虚　∶　sin c

戴震依此确定了从合计4种18个勾股形中产生的比例。他还利用此勾股比例导出了球面直角三角形的基本公式。对于上述的次纬仪的考察，吴思孝认为“兼备正弧三角之理与法”，还做出“就此七十有八字，神而明之，可以尽推步之能事矣”的评论，指出其重要之处。

然而，仅根据上述勾股比例，虽然能够得到“三距互求”和“一觚一距和余距的互求”术，但无法推导出“两觚和距的互求”。戴震对此“距经纬之弧四分圆周之一规之”——以点B为极而画大圆（图5-8）。这就是所谓“外规”。这时对于（1）纬度之规（赤道规）、（2）纬弧之规（黄道规）、（3）经度之规、（4）经弧之规、（5）大圆——外规之圆弧而言，新的球面直角三角形与新的球面四角形产生了。对于其次形，与前述同样，画出三角锥与四角锥，使其锥体形状分别和次纬仪与方直仪的基本形状相同，边角的值相异。不过次形其边角的值，与在直角三角形中的值相似：

图5-8

表5-2

边角的值具有相关性。如果无视余角的关系，那么次形的边角就只不过是单纯的代替次纬仪的值而已。因此用已知的次纬仪的公式，能够简单地延伸到球面直角三角形的边角关系式。戴震几乎也出于同样的考虑，利用了边角互易的关系，再针对新的数值开展了对次纬仪的考察。其结果是——

27术　sec c=sec asec b　28术　cos b=cos csec a

29术　cos a=sec bcos c　30术　sin c=cosec Asin a

31术　sin b=cot Atan a　32术　tan c=sec Atan b

33术　tan a=tan Asin b　34术　sin a=sin Asin c

35术　tan b=cos Atan c　36术　tan A=tan a/sin b

37术　sin A=sin a/sin c　38术　sec A=tan c/tan b

39术　sin B=sec acos A　40术　cos B=sin Acos b

41术　tan B=sec ccot A　42术　cos c=cot Acot B

43术　cos a=cosec Bcos A　44术　cos b=cosec Acos B

不必赘言，上述式子几乎涵盖了关于球面直角三角形的基本公式。

2.3　斜弧三角法　　　《勾股割圜记》的下卷，论述了一般的球面三角形的解法。“以勾股弧矢御之”也是下卷中基本的解析方法。

戴震首先对大圆弧的图示法的几何性质做了简洁的说明（图5-9）。换言之，“浑圆之规限，正视之，中绳（=OA），侧视之，随其高下而羡（=OB），惟平视之，中规（=OC）”。外周无羡，因此由“外周之限分”OC（=θ）便可知弧OA和OB的角距离，其正矩分sinθ、矢versθ可分别在AC、OA中看到。

图5-9

戴震接着介绍了不同样式的两种次形法。第一种次形法可以说是作为本形ABC（角A、B、C，边a、b、c）的替代，解析次形A′BC（角A、π-B、π-C，边a、π-b、π-c）（图5-10）。根据这种方法，“易大边为小边，易钝角为锐角”，能在简单的次形中分析本形的边角关系。第二种次形法的精髓是使用极三角形。尽管这是极为艰深的理论，但戴震并不加以原理的说明注释，如下说明了此方法。“若三觚各以为浑圆之一极，距觚四分圆周之一规之”——以球面三角形的各顶点为极而画大圆的弧。由此在这三个圆弧里产生了次形，“觚同其距之规限，距同其觚之规限”。这个次形法与现代数学的方法大体上相一致，次形相当于极三角形，边角互易关系相当于双对原理（Principle of duality）。不过若能更准确地解释双对原理，则三角形要素间的关系用对要素的补角置换也能成立（A↔π-a、B↔π-b、C↔π-c、a↔π-A、b↔π-B、c↔π-C）。