3　特征

以上是戴震《勾股割圜记》的概略，在本节临近尾声之际，笔者希望就本书的若干总体特征进行论述。

第一，《勾股割圜记》是所谓“西学之书”，而且必须指出它是一本高等数学书。这一点从三角法不是中国固有理论，但这本书却展开了艰涩的球面三角法论述来说是毫无疑问的。被视为奠定了中国近代数学基础的清代大数学家李善兰（1811—1882）在《则古昔斋算学》自序中，怀想自己二十岁的时候“应试武林，得测圆海镜、勾股割圜记以归，其学始进”，也佐证了这一点。当时，要说学习三角法最全面的书籍，非《勾股割圜记》莫属了。原本西洋的三角法于明末由耶稣会传来中国，虽然其中介绍的内容广泛且具有高难度，但欠缺清晰的说明和严格的证明，耶稣会也未带来系统的专业性书籍或是全面的教科书。清初，梅文鼎积累了对三角法的相关研究，用平易近人的文体在理论上展现出其精华，如《平三角举要》5卷（1683）、《弧三角举要》5卷（1683）、《环中黍尺》5卷（1700）、《堑堵测量》2卷（1703）等。然而，由于执笔时期不同，它们未被整理在同一册中，结构也不统一。戴震的理论依据不用吴思孝补注的指摘就可知，他是在梅文鼎的相关研究上拓展自己的研究，构建自己的数理体系。另外，从段玉裁《戴东原先生年谱》乾隆十七年的一段文字“勾股割圜记以西法为之。注亦先生所自为，假名吴君思孝”来看，此补注的确出自戴震自己之手。

第二，《勾股割圜记》的基本构想几乎全部依存于梅文鼎，完全没有添加新的数学知识，只用一个原理——“勾股比例”，便在构造和系统方面解释了全部内容，也说明了平面与球面的三角法。具体而言，上卷的内容和手法大体上根据《平三角举要》，中卷基于《堑堵测量》《弧三角举要》，下卷基于《弧三角举要》《环中黍尺》而成。只是，不仅复杂的方法——加法定理、切线分外角法、方直仪次纬仪法、次形法、矢较法等，连奠定本书形式的用勾股比例解释的三角法也是梅文鼎相关的发明。然而戴震为了解三角形，必须分解勾股形，再使用从中衍生出的“同限互权之率”来推导各种理论。其中展现了梅文鼎所不具备的统一、坚决与彻底。确实，用逐一分解为勾股形的方法解析三角形，在数学上虽然是退步，^[6]但戴震并不满足于缺乏论证性的中国传统记述法，他循着梅文鼎的思考解释用勾股比例给三角法整体定性，并在一本书中理论性、系统性地对其彻底分析，因此我们至少在坚持思考方法和著述方法的革新意义上应给予高度评价。(https://www.daowen.com)

第三，《勾股割圜记》由正文与图注构成，宛如经与注的样式，但必须指出其正文模仿古文，并尽其可能地使用复古术语。关于这一点的记载，有吴思孝《勾股割圜记序》的“读其文辞，始非秦汉已后书”，还有刘世仲《则古昔斋算学序》的“勿庵（梅文鼎）之书，唯恐人不解，东原之书，唯恐人能解”^[7]等。今天站在我们的角度，就算能够理解戴震强烈主张不同于当时用法的词句，将正切称为矩分、正弦称为内矩分等，也不认为他将记载于经书的经度和纬度颠倒使用是正常的判断。笔者不敢相信在逻辑上无上尊崇术语正确性的数学家，居然做了这样的事。

第四点与第二、第三点相交叉，就是他把中国传统的数学理论作为各种三角八线法的“本法”提出，并据此安排整体的逻辑构成，完成了逻辑严密且看起来具有中国风格的高等数学书。其中最显著的、贯穿全卷的例子，是用勾股比例来解析三角八线法。由于戴震从《周髀算经》首章的几句推出其勾股比例的原则，他高调地在书中写道：“因周髀首章之言，衍而极之，以备步算之大全，补六艺之逸简。”然而实际上，《周髀算经》首章之言只不过说了边长为3、4、5的三角形为勾股形而已。除此以外还有其他尚古主义的例子，比如中卷的方直仪法与下卷的弧三角形的图示法。下卷的弧三角形的图示法，它在技法上能够直接追溯到郭守敬的授时历，^[8]是完美地将数理上的必要性与尚古的必要性结合起来的例子。然而，方直仪法则并非如此。戴震认为方直仪法是球面正三角法的本法，将其放置于次纬仪的分析之前，这样安排的原因是他想事先论述这是授时历涉及的问题。在数学逻辑层面上，不仅戴震的勾股比例法与郭守敬的会圆术有出入，而且根据次纬仪的分析推出的诸公式包含了所有方直仪推导出的公式，^[9]因此方直仪的探讨本来是不必要的，尽管如此戴震还是坚持这样做了。只要注意到这一点，那么笔者就能认为戴震的处理方式不仅具有数理上的必要性，同时显然具有尚古主义的要素。正因如此，《勾股割圜记》才被称为奇书。^[10]