1.1 小波分析及应用的历史回顾
1807 年,法国数学家Jean Baptiste Joseph Fourier 指出,任何周期函数都可以用一个不同频率的正弦波和余弦波的无限和的形式来表达。 到19 世纪末,Fourier 分析理论的完善与发展已确定了它在科学界的重要地位,成为频谱分析的理想工具。
1909 年,匈牙利数学家Alfrd Haar 发现了一个函数,它是由一个短的正脉冲接着一个短的负脉冲构成的,这就是最早出现的小波,后来被称为Haar 小波[1]。
1930 年,剑桥大学的英国数学家John Edensor Littlewood 和R. E. A. C. Paley 开发出一种利用八度音阶将频率分组的方法,从而获得了可以在频率域进行较精准定位,并且在时间域也可以进行相对精准定位的信号。 这便是最早的时-频分析方法。
1946 年,匈牙利裔的英国物理学家Gabor 在文献[2]中提出Gabor 变换(也称为窗口Fourier 变换),它与Fourier 变换有着相似之处,可以将一个波分成“时间-频率包”。 Gbaor 的工作使在时间域和频率域上进行同时定位具有了现实可行性。
20 世纪60 年代,美籍阿根廷数学家Alberto Calderón 发现的Calderón 表示定理(该定理提供的数学方法后来被数学家们发现可以使小波分解后重新恢复被分解的信号),以及Hardy 空间的原子分解和长期以来人们对抽象空间无条件持之以恒的研究成果成为小波分析诞生的重要理论准备。
1981 年,Elf-Aquitaine 公司的工程师Morlet 开发出了独特的分析震波信号的方法,可获得在空间上精准定位的信号,称为“恒定形状小波”(后来被称为Morlet 小波)。 Morelt 的方法虽然行之有效,但他并不满足于以经验主义的方式获得的证据,于是他开始探寻这套方法在数学理论上的合理性。 Morlet 从马赛物理技术中心的物理学家Alxe Grossmann 那里得到了他想要的答案。 Grossmann 与Morlet 一起工作了一年来确认波是可以通过它们的小波分解来进行重构的。 他们在研究中发现,小波变换比Fourier 变换更加有效,因为在计算中受到一些随机误差的干扰更少。 在Fourier 系数中一个误差或一次轻率的截断可以将一个光滑的信号变成跳跃性的不连续信号,而小波则避免了这样的灾难性后果。
Grossmann 和Morlet 的结果[3]发表于1984 年。 在这篇论文中第一次用到了Wavelet 这个词。 当时被广泛认同为小波理论的创始人之一的Meyer 在同一年的秋天听说了他们的结果。 Meyer 在Morlet 和Grossmann 的论文发表前就已经16 次发表过类似小波的概念。 他第一个认识到了先前出现的小波,例如在John Edensor Littlewood 和R.E.A.C.Paley 研究中发现的小波与Morlet 小波之间的联系。 Meyer 后来又发现了一种新的小波[4],这种小波具有正交性(“正交性”的统计含义是不同平移的小波函数所捕捉的信息是完全独立的,即没有信息冗余)。
1986 年,Meyer 原来的学生,当时正在攻读计算机视觉博士学位的Mallat 将小波理论同当时的子带编码和求积镜向滤波器方面的研究联系了起来,并与Meyer 合作通过结合当时算子理论方面的最新研究成果和信号处理技术方面的最新成果,于1987 年共同建立了多分辨率分析理论,为小波分析确立了完整的理论框架。 Mallat在1989 年发表的文献[5]和Meyer 在1990 年发表的文献[6]里,正式提出了“多分辨率分析”(Multi-Resolution Analysis,MRA)的概念并描述了其相关理论。 应该说“多分辨率分析”的创立对小波分析理论的发展和成熟是具有划时代意义的,它使小波真正地成了一门独立的分析学学科。(https://www.daowen.com)
1987 年,当时正在纽约大学库兰特学院访问的学者Ingrid Daubechies(后来被聘为贝尔实验室的主管)等构造了一系列全新的小波——紧支集正交[7]和双正交小波[8,9],这些小波可以使用简单的数字滤波器来实施变换。 Ingrid Daubechies 的创造性工作将小波理论变成了一种实用的数学工具,从而引发了小波在应用领域的迅速扩展,确立了Ingrid Daubechies 在小波领域的核心地位,也标志着小波理论及应用进入了快速发展的阶段。
1996 年,Wim Sweldens 提出了小波的提升理论及算法,并于1998 年与Duabechies 一起证明了任何一元紧支集小波或滤波器组都可以分解成一系列提升与对偶提升步(Litfing steps)。 这一结果表明,任何一元紧支集小波或滤波器组都可以由Lazy 小波(只作数据采样)出发,经过一系列提升与对偶提升得到。 小波的提升理论与算法的提出,为小波提供了新的构造工具,它提供了独立于Fourier 分析的小波构造。 小波分析的提升构造方法由于其不依赖于Fourier 分析的特点,所以可构造处理非均匀采样数据的小波,甚至可以构造流形上的小波。 这些基于非均匀采样数据的小波称为第二代小波。
小波在应用领域的出色表现迅速得到了应用领域科学家的青睐。 1999 年,国际标准组织(ISO)批准了新的数字图像压缩技术标准,称为JPEG2000。 新的标准用小波变换取代离散余弦变换进行图像压缩,其中无损图像压缩采取的是Daubechies 5 ×3 滤波器,而有损压缩采用的是Daubechies 9 ×7 滤波器,其变换算法采用的是相应小波的提升变换算法。
随着小波理论体系的不断完善,小波分析在过去的二十几年中发展迅速。 它的应用几乎覆盖了所有的科学领域。 在数学方面,小波分析已成功地用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、微分方程求解、控制论等。 其他领域如量子力学,理论物理,军事电子对抗与武器智能化,计算机分类与识别,音乐与语言的人工合成,医学成像与诊断,地震勘探数据处理,大型机械的故障诊断,信号滤波、去噪、压缩、传递,以及图像压缩、分类、识别、去污等也有运用。
工程师们不断尝试新的应用,数学家们不断寻找更好的小波。 美国斯坦福大学的Dvaid L. Donoho 和Emmanuel Candes 提出了一种新系列的小波,称为“脊波”(ridgelet),这种小波是专门设计用于探测一条线路是否出现了中断情况的。 其他形式的小波构造和应用也在如火如荼地进行。
如果有人问到数学的价值,数学家们通常会这样回答:当一个解决纯数学问题的方法作为一个概念提出来的时候,这个概念多年后可能有意想不到的应用。 但小波的发展史却为这个提法涂上了一层复杂而更有趣的色彩。 对于小波来说,是特殊的应用研究导致了新的理论的整合,小波分析理论的发展是基础科学与应用科学并行发展又相互融合促进的典范。 小波分析解决了Fourier 分析不能解决的许多困难问题,小波变换所具有的局部自适应性使小波获得了“数学显微镜”的殊荣,它是数学与信息科学发展史上的重要里程碑。
经历了数十年的发展和充实,小波分析的理论及其应用内容已经积累了难以计数的大量成果,这里我们无法将其一一罗列。 为了方便读者对小波分析理论的理解,我们特别在本书的参考文献里选择了如下一些关于小波研究的经典书目,包括文献[6,9,10-18]等。 在此需要特别提及的是,2006 年美国Princeton 大学制作了一个针对小波研究发展的回顾性文献[19],其中收录了之前几乎所有的小波理论研究精华文献,这为小波分析学科的后继研究者提供了很大的帮助。
